Les nombres complexes

QCM : Expert - Exercice 2

20 min
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Question 1
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée.
On rappelle que si zz est un nombre complexe, z‾\overline{z} désigne le conjugué et ∣z∣\left|z\right| désigne le module de zz.

Si z=−12+12iz=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i alors z4z^{4} est un nombre réel.

Correction
L’affirmation est vraie.{\color{red}\text{L'affirmation est vraie.}}
Commençons par calculer z2z^{2} .
z2=(−12+12i)2z^{2}=\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)^{2} équivaut successivement à :
z2=(12)2−2×12×12i+(12i)2z^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-2\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}i+\left(\frac{1}{2}i\right)^{2}
z2=14−12i+14i2z^{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}i+\frac{1}{4}i^{2}
z2=14−12i−14z^{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}i-\frac{1}{4}
z2=−12iz^{2}=-\frac{1}{2}i
Or : z4=(z2)2z^{4}=\left(z^{2}\right)^{2}
Ainsi :
z4=(−12i)2z^{4}=\left(-\frac{1}{2}i\right)^{2}
z4=14i2z^{4}=\frac{1}{4}i^{2}
Finalement :
z4=−14z^{4}=-\frac{1}{4} et on a bien
z4∈Rz^{4}\in \mathbb{R}
Question 2

Si z+z‾=0z+\overline{z}=0 alors z=0z=0 .

Correction
L’affirmation est fausse.{\color{red}\text{L'affirmation est fausse.}}
Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy
z+z‾=0z+\overline{z}=0 équivaut successivement à :
x+iy+x−iy=0x+iy+x-iy=0
2x=02x=0
x=0x=0

Donc tous les imaginaires de la forme z=0+yi=yiz=0+yi=yi avec y≠0y \ne 0 vérifient la relation sans être nuls .
Par exemple : z=2iz=2i est une solution de l'équation car z‾=−2i\overline{z}=-2i et de ce fait :
z+z‾=2i−2i=0z+\overline{z}=2i-2i=0
Question 3

Si z+1z=0z+\frac{1}{z}=0 alors z=iz=i ou z=−iz=-i .

Correction
L’affirmation est vraie.{\color{red}\text{L'affirmation est vraie.}}
z=0z=0 n'est pas une solution de cette équation, nous allons donc tout mettre au même dénominateur.
z+1z=0z+\frac{1}{z}=0 équivaut successivement à :
z2z+1z=0\frac{z^{2} }{z} +\frac{1}{z} =0
z2+1z=0\frac{z^{2} +1}{z} =0
z2+1=0×zz^{2} +1=0\times z
z2+1=0z^{2} +1=0
z2=−1z^{2} =-1
Ce qui nous donne :
z=iz=i ou z=−iz=-i

Question 4

Si ∣z∣=1\left|z\right|=1 et si ∣z+z′∣=1\left|z+z'\right|=1 alors z′=0z'=0

Correction
L’affirmation est fausse.{\color{red}\text{L'affirmation est fausse.}}
Ici, nous allons prendre un contre-exemple .
Soit z=1z=1 et z′=−12+i32z'=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3} }{2}
Nous avons bien ∣z∣=1\left|z\right|=1 .
De plus :
z+z′=1−12+i32z+z'=1-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3} }{2} donc z+z′=12+i32z+z'=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3} }{2}
Or :
∣z+z′∣=(12)2+(32)2\left|z+z'\right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(\frac{\sqrt{3} }{2} \right)^{2} }
∣z+z′∣=14+34\left|z+z'\right|=\sqrt{\frac{1}{4} +\frac{3}{4} }
∣z+z′∣=1=1\left|z+z'\right|=\sqrt{1} =1
Nous avons donc ∣z∣=1\left|z\right|=1 et ∣z+z′∣=1\left|z+z'\right|=1 mais z′≠0z'\ne 0