Module et argument : sous forme de petits problèmes - Exercice 4

$$iz=-\sqrt{3}+i$$ équivaut successivement à :
$$z=\frac{-\sqrt{3} +i}{i}$$
$$z=\frac{\left(-\sqrt{3} +i\right)\times \left(-i\right)}{i\times \left(-i\right)}$$
$$z=\frac{\sqrt{3} i-i^{2} }{1}$$
Finalement :
La solution de l'équation est donc $$z=\sqrt{3} i+1$$.

Nous savons que $$z_{B} =-z_{A}$$ et donc $$z_{B} =-2e^{i\frac{\pi }{3} }$$.
Attention, l'expression de $$z_{B}$$ sous la forme $$-2e^{i\frac{\pi }{3} }$$ n'est pas une écriture exponentielle à cause du signe moins.
Ainsi : $$-2=2e^{i\pi }$$
Donc : $$z_{B} =-2e^{i\frac{\pi }{3} }$$ peut également s'écrire :
$$z_{B}=2e^{i\pi }\times e^{i\frac{\pi }{3} }$$
$$z_{B} =2e^{i\left(\pi +\frac{\pi }{3} \right)}$$
Ainsi :

Nous savons que $$z_{C} =\left(z_{A} \right)^{2}$$ d'où :
$$z_{C} =\left(2e^{i\frac{\pi }{3} } \right)^{2}$$ équivaut successivement à :
$$z_{C} =2^{2} \times \left(e^{i\frac{\pi }{3} } \right)^{2}$$
$$z_{C} =4\times e^{i\frac{\pi }{3} \times 2}$$

$$z_{A} =2e^{i\frac{\pi }{3} }$$ équivaut successivement à :
$$z_{A}=2\left(\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)\right)$$
$$z_{A}=2\left(\frac{1 }{2}+i\frac{\sqrt{3} }{2}\right)$$

De plus , $$z_{B} =-z_{A}$$, il vient alors que :
Enfin, nous savons que : $$z_{C} =4e^{i\frac{2\pi }{3} }$$. Il en résulte donc que :
$$z_{C}=4\left(\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)\right)$$
$$z_{C}=4\left(-\frac{1 }{2}+i\frac{\sqrt{3} }{2}\right)$$

Il nous faut calculer ici les distances $$AB$$, $$AC$$ et $$BC$$.
$$AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|$$
$$AB=\left|-1-i\sqrt{3} -\left(1+i\sqrt{3} \right)\right|$$
$$AB=\left|-1-i\sqrt{3} -1-i\sqrt{3} \right|$$
$$AB=\left|-2-2i\sqrt{3} \right|$$
$$AB=\sqrt{\left(-2\right)^{2} +\left(-2\sqrt{3} \right)^{2} }$$
$$AB=\sqrt{4+12}$$

$$AC=\left|z_{C} -z_{A} \right|$$
$$AC=\left|-2+2i\sqrt{3} -\left(1+i\sqrt{3} \right)\right|$$
$$AC=\left|-2+2i\sqrt{3} -1-i\sqrt{3} \right|$$
$$AC=\left|-3+i\sqrt{3} \right|$$
$$AC=\sqrt{\left(-3\right)^{2} +\left(\sqrt{3} \right)^{2} }$$
$$AC=\sqrt{9+3}$$

$$BC=\left|z_{C} -z_{B} \right|$$
$$BC=\left|-2+2i\sqrt{3} -\left(-1-i\sqrt{3} \right)\right|$$
$$BC=\left|-2+2i\sqrt{3} +1+i\sqrt{3} \right|$$
$$BC=\left|-1+3i\sqrt{3} \right|$$
$$BC=\sqrt{\left(-1\right)^{2} +\left(3\sqrt{3} \right)^{2} }$$
$$BC=\sqrt{1+27}$$

Or on vérifie que :
$$BC^{2} =28$$ et que $$AB^{2}+AC^{2} =28$$
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$A$$.

Commençons par donner la forme algébrique de $$z_{D}$$.
$$z_{D} =\frac{8}{z_{A} }$$ équivaut successivement à :
$$z_{D} =\frac{8}{1+i\sqrt{3} }$$
$$z_{D} =\frac{8\left(1-i\sqrt{3} \right)}{\left(1+i\sqrt{3} \right)\left(1-i\sqrt{3} \right)}$$
$$z_{D} =\frac{8-8i\sqrt{3} }{1^{2} +\left(\sqrt{3} \right)^{2} }$$
$$z_{D} =\frac{8-8i\sqrt{3} }{4}$$

$$\overrightarrow{AD} =z_{D} -z_{A}$$ équivaut successivement à
$$\overrightarrow{AD} =2-2i\sqrt{3}-\left(1+i\sqrt{3} \right)$$
$$\overrightarrow{AD} =2-2i\sqrt{3}-1-i\sqrt{3}$$

$$\overrightarrow{CB} =z_{B} -z_{C}$$ équivaut successivement à
$$\overrightarrow{CB} =-1-i\sqrt{3}-\left(-2+2i\sqrt{3} \right)$$
$$\overrightarrow{CB} =-1-i\sqrt{3}+2-2i\sqrt{3}$$

Or : $$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$$ donc le quadrilatère $$ACBD$$ est un parallélogramme. De plus, d'après la question $$5$$, le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$A$$.
Un parallélogramme possédant un angle droit est un rectangle.
Finalement, le quadrilatère $$ACBD$$ est un rectangle.