Module et argument : sous forme de petits problèmes - Exercice 3
20 min
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Question 1
On donne les nombres complexes suivants z1=26−i2 et z2=1−i
Donner le module et un argument de z1,z2.
Correction
Commençons par calculer le module et un argument de z1.
∣z1∣=(26)2+(−22)2=2
Pour l'argument θ on sait que :
{cos(θ)sin(θ)==module de z1partie reelle de z1module de z1partie imaginaire de z1 On a donc ⎩⎨⎧cos(θ)sin(θ)==2(26)2(2−2) d'où {cos(θ)sin(θ)==23−21 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=−6π[2π] ou encore
arg(z1)=−6π[2π]
D'autre part, calculons le module et un argument de z2.
∣z2∣=12+(−1)2=2
Pour l'argument θ on sait que :
{cos(θ)sin(θ)==module de z2partie reelle de z2module de z2partie imaginaire de z2 On a donc {cos(θ)sin(θ)==212−1 d'où {cos(θ)sin(θ)==22−22 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=−4π[2π] ou encore
arg(z2)=−4π[2π]
Question 2
Donner le module et un argument de z2z1.
Correction
∣∣z2z1∣∣=∣z2∣∣z1∣
arg(z2z1)=arg(z1)−arg(z2)
D’une part :
∣∣z2z1∣∣=22=1
D’autre part : arg(z2z1)=arg(z1)−arg(z2) équivaut successivement à : arg(z2z1)=−6π−(−4π) arg(z2z1)=−6π+4π
arg(z2z1)=12π[2π]
Question 3
Donner la forme algébrique de z2z1.
Correction
z2z1=1−i(26−i2) équivaut successivement à z2z1=(1−i)(1+i)(26−i2)(1+i) D'où :
z2z1=46+2+i46−2
Question 4
En déduire que cos(12π)=46+2 et sin(12π)=46−2
Correction
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
L'écriture exponentielle de z est alors z=∣z∣eiθ
Nous allons donner l'écriture trigonométrique de z2z1. A l'aide de la question 2, on connaît le module et un argument de z2z1. En effet : ∣∣z2z1∣∣=1 et arg(z2z1)=12π[2π] Donc l'écriture trigonométrique de z2z1 est z2z1=1×(cos(12π)+isin(12π))=cos(12π)+isin(12π) Comme z2z1=cos(12π)+isin(12π) et que z2z1=46+2+i46−2 Cela signifie que les parties réelles sont égales et les parties imaginaires sont égales, il vient alors que :