Module et argument : sous forme de petits problèmes - Exercice 2

Commençons, par le module de $$z_{1}$$.

$$\left|z_{1} \right|=\sqrt{1^{2} +\left(-1\right)^{2} } =\sqrt{2}$$

Pour l'argument $$\theta$$ on sait que :

$$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie reelle de } z_{1}}{\text{module de } z_{1}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{1}}{\text{module de } z_{1} } } \end{array}\right.$$
On a donc : $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{\sqrt{2} } } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-1}{\sqrt{2} } } \end{array}\right.$$
Ainsi : $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1\times \sqrt{2} }{\sqrt{2} \times \sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-1\times \sqrt{2} }{\sqrt{2} \times \sqrt{2} } =\frac{-\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.$$
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que $$\theta =-\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]$$
Il en résulte donc que :

Une forme trigonométrique de $$z_{1}$$ est alors :

$$z_{1}=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi }{4} \right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)$$

Une forme exponentielle de $$z_{1}$$ est alors :

$$z_{1}=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi }{4} }$$

$$z_{2}=e^{i\frac{5\pi }{6} }$$ équivaut successivement à :
$$z_{2}=\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)+i\sin \left(\frac{5\pi }{6}\right)$$

$$Z=z_{1}\times z_{2}$$ équivaut successivement à :
$$Z=\left(1-i\right)\times \left(-\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{1 }{2}i\right)$$
$$Z=-\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{1}{2} i+i\frac{\sqrt{3} }{2} -\frac{1}{2} i^{2}$$
$$Z=-\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{1}{2} i+i\frac{\sqrt{3} }{2} -\frac{1}{2} \times \left(-1\right)$$
$$Z=-\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{1}{2} i+i\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{1}{2}$$
$$Z=-\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{1}{2} +i\left(\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3} }{2} \right)$$

Il ne faut surtout pas partir de la forme algébrique de $$Z$$ pour essayer de trouver le module et un argument, vous n'y arriverez pas! Il faut utiliser les formules du cours suivantes car nous savons que $$Z=z_{1}\times z_{2}$$. Comme $$z_{2}=e^{i\frac{5\pi }{6} }$$ alors le module de $$z_{2}$$ vaut $$1$$. De plus, d'après la première question nous savons que $$z_{1}=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi }{4} }$$
Calcul du module de $$Z$$ :
$$\left|Z\right|=\left|z_{1} \times z_{2} \right|$$ équivaut successivement à :
$$\left|Z\right|=\left|z_{1} \right|\times \left|z_{2} \right|$$
$$\left|Z\right|=\sqrt{2}\times 1$$

Calcul d'un argument de $$Z$$ :
$$\arg \left(Z \right)=\arg \left(z_{1} z_{2} \right)$$
$$\arg \left(Z \right)=\arg \left(z_{1} \right)+\arg \left(z_{2} \right)$$
$$\arg \left(Z \right)=-\frac{\pi }{4}+\frac{5\pi }{6}$$

Une forme trigonométrique de $$Z$$ est alors :

$$Z=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{7\pi }{12} \right)+i\sin \left(\frac{7\pi }{12}\right)\right)$$

Une forme exponentielle de $$Z$$ est alors :

$$Z=\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi }{12} }$$

Nous avons, d'une part, la forme algébrique de $$Z$$ qui est : $$Z={\color{blue}\frac{1-\sqrt{3} }{2}} +\left({\color{red}\frac{1+\sqrt{3} }{2}} \right)i$$.
Nous avons, d'autre part, la forme trigonométrique de $$Z$$ qui est : $$Z=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{7\pi }{12} \right)+i\sin \left(\frac{7\pi }{12}\right)\right)$$ ou encore $$Z={\color{blue}\sqrt{2}\cos \left(\frac{7\pi }{12}\right)}+i{\color{red}\sqrt{2}\sin \left(\frac{7\pi }{12}\right)}$$
Cela signifie que les parties réelles sont égales et les parties imaginaires sont égales, il vient alors que
et
Enfin :
et