Module et argument : sous forme de petits problèmes - Exercice 1

$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} }=\frac{-3+3i-2i }{1+5i-2i }$$ équivaut successivement :
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} }=\frac{-3+i }{1+3i }$$
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} }=\frac{\left(-3+i\right)\left(1-3i\right)}{\left(1+3i\right)\left(1-3i\right)}$$
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} } =\frac{-3+9i+i-3i^{2} }{1^{2} +3^{2} }$$
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} } =\frac{-3+9i+i+3}{10}$$
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} } =\frac{10i}{10}$$

Calculons le module et un argument de $$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} }$$.
Nous savons que : $$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} }=i$$
$$\left|\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} } \right|=\sqrt{0^{2} +1^{2} } =\sqrt{1} =1.$$
Pour l'argument $$\theta$$ on sait que $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } }{\text{module }} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } }{\text{module } } } \end{array}\right.$$
On a donc $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{0}{1} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{1} } \end{array}\right.$$
d'où $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {0} \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {1} \end{array}\right.$$ . Avec le cercle trigonométrique on en déduit que $$\theta =\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]$$.
Il en résulte que la forme trigonométrique de $$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} }$$ est $$\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)+i\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)$$

Nous avons, d'après la question $$2$$, les informations suivantes :
$$\left|\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} } \right| =1$$ et $$\arg \left(\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} } \right)=\frac{\pi }{2}$$ $$\left[2\pi \right]$$
D'une part :
$$\left|\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} } \right| =1$$ équivaut successivement à :
$$\frac{\left|z_{C}-z_{A}\right|}{\left|z_{B}-z_{A}\right|}=1$$. Or : $$\left|z_{C}-z_{A}\right|$$ correspond à la distance $$AC$$ et $$\left|z_{B}-z_{A}\right|$$ correspond à la distance $$AB$$.
Ainsi :
$$\frac{AC}{AB}=1$$ . Il vient alors que :.
Le triangle $$BAC$$ est isocèle en $$A$$.
D'autre part :
$$\arg \left(\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} } \right)=\frac{\pi }{2}$$ $$\left[2\pi \right]$$ équivaut successivement à :

Le triangle $$BAC$$ est rectangle en $$A$$.
Finalement , le triangle $$BAC$$ est rectangle isocèle en $$A$$.

$$z_{E} =\frac{z_{B} +z_{C} }{2}$$
$$z_{E} =\frac{1+5i-3+3i }{2}$$
$$z_{E} =\frac{-2+8i}{2}$$

Pour calculer la longueur $$\left[EB \right]$$, il faut calculer le module : $$\left|z_{B}-z_{E}\right|$$
$$EB=\left|z_{B}-z_{E}\right|$$
$$EB=\left|1+5i+1-4i\right|$$
$$EB=\left|2+i\right|$$
$$EB=\sqrt{2^{2} +\left(1\right)^{2} } =\sqrt{5}$$

$$\left|z-z_{E}\right|=\sqrt{5}$$ équivaut successivement à :
$$EM=\sqrt{5}$$
Le point $$M$$ se trouve sur le cercle de centre $$E$$ et de rayon $$\sqrt{5}$$.
L’ensemble $$H$$ des point $$M$$ est donc le cercle de centre $$E$$ et de rayon $$\sqrt{5}$$.

Dans un triangle rectangle le centre du cercle circonscrit se trouve au milieu de l’hypoténuse. Le point $$E$$ est le milieu de l’hypoténuse $$\left[EB \right]$$ et le rayon du cercle est égal à la distance $$EB$$. L’ensemble $$H$$ est donc le cercle circonscrit au triangle $$ABC$$, il passe donc par les points $$A$$, $$B$$ et $$C$$.