La forme conjuguée - Exercice 5

On pose $$z=x+iy$$ et $$\overline{z}=x-iy$$, on a alors
$$Z=-2i\left(x+iy\right)+3\left(x-iy\right)+1+i$$ équivaut successivement à
$$Z=-2ix+2y+3x-3iy+1+i$$
$$Z=3x+2y+1+i\left(-2x-3y+1\right)$$
Ainsi la partie réelle notée est $$Re\left(Z\right)=3x+2y+1$$ et la partie imaginaire notée est $$Im\left(Z\right)=-2x-3y+1$$

$$Z=0$$ équivaut à $$3x+2y+1+i\left(-2x-3y+1\right)=0$$.
Il faut donc que la partie réelle soit nulle et que la partie imaginaire soit également nulle.
On obtient le système suivant
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y+1} & {=} & {0} \\ {-2x-3y+1} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ il s'agit d'un système deux équations à deux inconnues.
Je ne détaille pas sa résolution, nous savons maintenant le faire en Terminale S.
Soit $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-1} \\ {y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
La solution de l'équation $$Z=0$$ est $$z=-1+i$$