La forme conjuguée - Exercice 4

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Question 1
Soit Z=2z+5z‾+2−5iZ=2z+5\overline{z}+2-5i et soit z=x+iyz=x+iy avec xx et yy deux réels.

Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de ZZ en fonction de xx et yy

Correction
On pose z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy, on a alors
Z=2(x+iy)+5(x−iy)+2−5iZ=2\left(x+iy\right)+5\left(x-iy\right)+2-5i équivaut successivement
Z=2x+2iy+5x−5iy+2−5iZ=2x+2iy+5x-5iy+2-5i
Z=7x−3iy+2−5iZ=7x-3iy+2-5i
Z=(7x+2)+i(−3y−5)Z=\left(7x+2\right)+i\left(-3y-5\right)
Question 2

Résoudre Z=0Z=0

Correction
Z=0⇔(7x+2)+i(−3y−5)=0.Z=0\Leftrightarrow \left(7x+2\right)+i\left(-3y-5\right)=0.
Cela signifie qu'il faut que la partie réelle soit nulle et que la partie imaginaire soit nulle.
On obtient un système qu'il va falloir résoudre.
{7x+2=0−3y−5=0\left\{\begin{array}{ccc} {7x+2} & {=} & {0} \\ {-3y-5} & {=} & {0} \end{array}\right.
Ainsi {x=−27y=−53\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{-2}{7} } \\ {y} & {=} & {\frac{-5}{3} } \end{array}\right.
La solution de l'équation Z=0Z=0 est z=−27−i53z=\frac{-2}{7} -i\frac{5}{3}
Question 3

Résoudre Z=1+2iZ=1+2i

Correction
Z=1+2iZ=1+2i équivaut successivement à
(7x+2)+i(−3y−5)=1+2i\left(7x+2\right)+i\left(-3y-5\right)=1+2i
Cela signifie qu'il faut que la partie réelle soit égale à 11 et que la partie imaginaire soit égale à 22 .
On obtient un système qu'il va falloir résoudre.
{7x+2=1−3y−5=2\left\{\begin{array}{ccc} {7x+2} & {=} & {1} \\ {-3y-5} & {=} & {2} \end{array}\right.
Ainsi {x=−17y=−73\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{-1}{7} } \\ {y} & {=} & {\frac{-7}{3} } \end{array}\right.
La solution de l'équation Z=1+2iZ=1+2i est z=−17x−i73z=\frac{-1}{7} x-i\frac{7}{3}

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