La forme conjuguée - Exercice 4

On pose $$z=x+iy$$ et $$\overline{z}=x-iy$$, on a alors
$$Z=2\left(x+iy\right)+5\left(x-iy\right)+2-5i$$ équivaut successivement
$$Z=2x+2iy+5x-5iy+2-5i$$
$$Z=7x-3iy+2-5i$$
$$Z=\left(7x+2\right)+i\left(-3y-5\right)$$

$$Z=0\Leftrightarrow \left(7x+2\right)+i\left(-3y-5\right)=0.$$
Cela signifie qu'il faut que la partie réelle soit nulle et que la partie imaginaire soit nulle.
On obtient un système qu'il va falloir résoudre.
$$\left\{\begin{array}{ccc} {7x+2} & {=} & {0} \\ {-3y-5} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Ainsi $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{-2}{7} } \\ {y} & {=} & {\frac{-5}{3} } \end{array}\right.$$
La solution de l'équation $$Z=0$$ est $$z=\frac{-2}{7} -i\frac{5}{3}$$

$$Z=1+2i$$ équivaut successivement à
$$\left(7x+2\right)+i\left(-3y-5\right)=1+2i$$
Cela signifie qu'il faut que la partie réelle soit égale à $$1$$ et que la partie imaginaire soit égale à $$2$$ .
On obtient un système qu'il va falloir résoudre.
$$\left\{\begin{array}{ccc} {7x+2} & {=} & {1} \\ {-3y-5} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
Ainsi $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{-1}{7} } \\ {y} & {=} & {\frac{-7}{3} } \end{array}\right.$$
La solution de l'équation $$Z=1+2i$$ est $$z=\frac{-1}{7} x-i\frac{7}{3}$$