La forme conjuguée - Exercice 3

$$2\overline{z}=-4+3i$$ équivaut successivement à
$$\overline{z}=-2+\frac{3}{2} i$$
$$z=-2-\frac{3}{2} i$$
Donc $$S=\left\{-2-\frac{3}{2} i\right\}$$

$$\left(\overline{z}+2-i\right)\left(2z-4i+7\right)=0$$ équivaut successivement à
$$\overline{z}+2-i=0$$ ou $$2z-4i+7=0$$
D'une part :
$$\overline{z}+2-i=0$$ équivaut successivement à
$$\overline{z}=-2+i$$
$$z=-2-i$$
D'autre part :
$$2z-4i+7=0$$ équivaut successivement à
$$2z=4i-7$$
$$z=2i-\frac{7}{2}$$
Donc les solutions sont alors $$S=\left\{2i-\frac{7}{2} ;-2-i\right\}$$

$$z+\overline{z}=4$$ équivaut successivement à
$$x+iy+x-iy=4$$
$$2x=4$$
$$x=2$$
La solution est $$z=2$$ autrement dit $$S=\left\{2\right\}$$

$$2z+\overline{z}=7i$$ équivaut successivement à
$$2\left(x+iy\right)+x-iy=7i$$
$$2x+2iy+x-iy=7i$$
$$3x+iy=7i$$
Deux complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont respectivement égales.
$${\color{blue}{3x}}+i{\color{red}{y}}={\color{blue}{0}}+{\color{red}{7}}i$$
On obtient le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {7} \end{array}\right.$$
Ainsi $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {7} \end{array}\right.$$
La solution est $$z=7i$$ autrement dit $$S=\left\{7i\right\}$$

Dans le cas où tu as une équation avec du $$z$$ et du $$\overline{z}$$, il faut poser $$z=x+iy$$ et $$\overline{z}=x-iy$$
$$z+3\overline{z}=2+i$$ équivaut successivement à
$$x+iy+3\left(x-iy\right)=2+i$$
$$x+iy+3x-3iy=2+i$$
Deux complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont respectivement égales.
$${\color{blue}{4x}}{\color{red}{-2}}i{\color{red}{y}}={\color{blue}{2}}+{\color{red}{1}}i$$
On obtient le système suivant
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {2} \\ {-2y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
Ainsi $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {y} & {=} & {-\frac{1}{2} } \end{array}\right.$$
La solution est $$z=\frac{1}{2} -\frac{1}{2} i$$ autrement dit $$S=\left\{\frac{1}{2} -\frac{1}{2} i\right\}$$

Dans le cas où tu as une équation avec du $$z$$ et du $$\overline{z}$$, il faut poser $$z=x+iy$$ et $$\overline{z}=x-iy$$

$$2\overline{z}=3iz-4i+3$$ équivaut successivement à
$$2\left(x-iy\right)-3i\left(x+iy\right)=-4i+3$$
$$2x-2iy-3ix+3y=-4i+3$$
Deux complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont respectivement égales.
$$\left({\color{blue}{2x+3y}}\right)+i\left({\color{red}{-3x-2y}}\right)={\color{red}{-4}}i+{\color{blue}{3}}$$
On obtient le système suivant
$$\left\{\begin{array}{ccc} {2x+3y} & {=} & {3} \\ {-3x-2y} & {=} & {-4} \end{array}\right.$$ . Nous obtenons un système deux équations à deux inconnues. Nous donnons directement la réponse :)
Ainsi : $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{6}{5} } \\ {y} & {=} & {\frac{1}{5} } \end{array}\right.$$
La solution est $$z=\frac{6}{5} +\frac{1}{5} i$$ autrement dit $$S=\left\{\frac{6}{5} +\frac{1}{5} i\right\}$$

Dans le cas où tu as une équation avec du $$z$$ et du $$\overline{z}$$, il faut poser $$z=x+iy$$ et $$\overline{z}=x-iy$$
$$2i\overline{z}+6z=2i+3$$
$$2i\left(x-iy\right)+6\left(x+iy\right)=2i+3$$
$$2ix+2y+6x+6iy=2i+3$$
Deux complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont respectivement égales.
$$\left({\color{blue}{6x+2y}}\right)+i\left({\color{red}{2x+6y}}\right)={\color{red}{2}}i+{\color{blue}{3}}$$
On obtient le système suivant
$$\left\{\begin{array}{ccc} {6x+2y} & {=} & {3} \\ {2x+6y} & {=} & {2} \end{array}\right.$$ . Nous obtenons un système deux équations à deux inconnues. Nous donnons directement la réponse :)
Ainsi : $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7}{16} } \\ {y} & {=} & {\frac{3}{16} } \end{array}\right.$$
La solution est $$z=\frac{7}{16} +\frac{3}{16} i$$ autrement dit $$S=\left\{\frac{7}{16} +\frac{3}{16} i\right\}$$