La forme conjuguée - Exercice 2

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Donner la forme algébrique du conjugué z‾\overline{z} des complexes suivants :
Question 1

z1=2(1+i)−(5−3i)z_{1} =2\left(1+i\right)-\left(5-3i\right)

Correction
On va développer l'expression de z1z_{1} sous forme algébrique puis on donnera le conjugué du résultat.
z1=2(1+i)−(5−3i)z_{1} =2\left(1+i\right)-\left(5-3i\right)
z1=2+2i−5+3iz_{1} =2+2i-5+3i
On a z1=−3+5iz_{1} =-3+5i donc z1‾=−3−5i\overline{z_{1} }=-3-5i
Question 2

z2=(1+i)(2−3i)z_{2} =\left(1+i\right)\left(2-3i\right)

Correction
Soient deux nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} sous forme algébrique. On a : z1×z2‾=z1‾×z2‾ \overline{z_{1} \times z_{2} }=\overline{z_{1} }\times \overline{z_{2} }
On a :
z2=(1+i)(2−3i)z_{2} =\left(1+i\right)\left(2-3i\right) . Sa forme conjuguée est alors :
z2‾=(1−i)(2+3i)\overline{z_{2} }=\left(1-i\right)\left(2+3i\right)
z2‾=(1−i)(2+3i)\overline{z_{2} }=\left(1-i\right)\left(2+3i\right)
z2‾=2+3i−2i−3i2\overline{z_{2} }=2+3i-2i-3i^{2}
z2‾=2+3i−2i+3\overline{z_{2} }=2+3i-2i+3
Finalement : z2‾=5+i\overline{z_{2} }=5+i
Question 3

z3=2i−1+iz_{3} =\frac{2i}{-1+i}

Correction
Soient deux nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} sous forme algébrique et z2≠0z_{2} \ne 0. On a : (z1z2)‾=z1‾z2‾\overline{\left(\frac{z_{1} }{z_{2} } \right)}=\frac{\overline{z_{1} }}{\overline{z_{2} }}
On a :
z3=2i−1+iz_{3} =\frac{2i}{-1+i} Sa forme conjuguée est alors :
z3‾=−2i−1−i\overline{z_{3}} =\frac{-2i}{-1-i}
z3‾=−2i×(−1+i)(−1−i)×(−1+i)\overline{z_{3} }=\frac{-2i\times \left(-1+i\right)}{\left(-1-i\right)\times \left(-1+i\right)}
z3‾=2i−2i212+12\overline{z_{3} }=\frac{2i-2i^{2} }{1^{2} +1^{2} }
z3‾=2i+22\overline{z_{3} }=\frac{2i+2}{2}
Ainsi : z3‾=1+i\overline{z_{3} }=1+i
Question 4

z4=2−3i2+4iz_{4} =\frac{2-3i}{2+4i}

Correction
Soient deux nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} sous forme algébrique et z2≠0z_{2} \ne 0. On a : (z1z2)‾=z1‾z2‾\overline{\left(\frac{z_{1} }{z_{2} } \right)}=\frac{\overline{z_{1} }}{\overline{z_{2} }}

On a :
z4=2−3i2+4iz_{4} =\frac{2-3i}{2+4i} Sa forme conjuguée est alors :
z4‾=2+3i2−4i\overline{z_{4}} =\frac{2+3i}{2-4i}
z4‾=(2+3i)×(2+4i)(2−4i)×(2+4i)\overline{z_{4} }=\frac{\left(2+3i\right)\times \left(2+4i\right)}{\left(2-4i\right)\times \left(2+4i\right)}
z4‾=4+8i+6i+12i222+42\overline{z_{4} }=\frac{4+8i+6i+12i^{2} }{2^{2} +4^{2} }
z4‾=−8+14i20\overline{z_{4} }=\frac{-8+14i}{20}
Ainsi : z4‾=−25+710i\overline{z_{4} }=-\frac{2}{5} +\frac{7}{10} i

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