Exercices types : Des classiques - Exercice 2

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Question 1
On note C\mathbb{C} l'ensemble des nombres complexes.
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)\left(O, \vec{u}, \vec{v}\right).
On considère la fonction ff qui à tout nombre complexe zz associe f(z)=z2+2z+9f\left(z\right)=z^{2}+2z+9.

Calculer l'image de −1+i3-1+i\sqrt{3} par la fonction ff.

Correction
f(−1+i3)=(−1+i3)2+2(−1+i3)+9f\left(-1+i\sqrt{3} \right)=\left(-1+i\sqrt{3} \right)^{2} +2\left(-1+i\sqrt{3} \right)+9
f(−1+i3)=12−2×1×i3+(i3)2+2×(−1)+2×(i3)+9f\left(-1+i\sqrt{3} \right)=1^{2} -2\times 1\times i\sqrt{3} +\left(i\sqrt{3} \right)^{2} +2\times \left(-1\right)+2\times \left(i\sqrt{3} \right)+9
f(−1+i3)=1−2i3+3i2−2+2i3+9f\left(-1+i\sqrt{3} \right)=1-2i\sqrt{3} +3i^{2}-2+2i\sqrt{3} +9
f(−1+i3)=1−2i3+3×(−1)−2+2i3+9f\left(-1+i\sqrt{3} \right)=1-2i\sqrt{3} +3\times \left(-1\right)-2+2i\sqrt{3} +9
f(−1+i3)=1−2i3−3−2+2i3+9f\left(-1+i\sqrt{3} \right)=1-2i\sqrt{3} -3-2+2i\sqrt{3} +9
f(−1+i3)=5f\left(-1+i\sqrt{3} \right)=5

Question 2

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation f(z)=5f\left(z\right)=5.

Correction
f(z)=5f\left(z\right)=5 équivaut successivement à :
z2+2z+9=5z^{2}+2z+9=5
z2+2z+4=0z^{2}+2z+4=0

Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}

    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    • Δ=22−4×1×4=−12\Delta =2^{2}-4\times1\times4=-12.
    Δ<0\Delta <0 ,il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=−2−i122z_{1} =\frac{-2-i\sqrt{12} }{2}
    et
    z2=−2+i122z_{2} =\frac{-2+i\sqrt{12} }{2}

    Donc S={−1−i3;−1+i3}S=\left\{-1-i\sqrt{3} ;-1+i\sqrt{3} \right\}
    Question 3
    Soit λ\lambda un nombre réel. On considère l'équation f(z)=λf\left(z\right)=\lambda d'inconnue zz.

    Déterminer l'ensemble des valeurs de λ\lambda pour lesquelles f(z)=λf\left(z\right)=\lambda admet deux solutions complexes conjuguées.

    Correction
    f(z)=λf\left(z\right)=\lambda équivaut successivement à :
    z2+2z+9=λz^{2}+2z+9=\lambda
    z2+2z+9−λ=0z^{2}+2z+9-\lambda=0
    Pour que l’équation f(z)=λf\left(z\right)=\lambda admette deux solutions complexes conjuguées, il faut que le discriminant du polynôme z2+2z+9−λz^{2}+2z+9-\lambda soit strictement négatif.
    Δ=22−4×1×(9−λ)\Delta =2^{2} -4\times 1\times \left(9-\lambda \right)
    Δ=4−4(9−λ)\Delta =4-4\left(9-\lambda \right)
    Δ=4−36+4λ\Delta =4-36+4\lambda
    Δ=−32+4λ\Delta =-32+4\lambda
    Δ<0⇔−32+4λ<0⇔4λ<32⇔λ<324⇔λ<8\Delta <0\Leftrightarrow -32+4\lambda <0\Leftrightarrow 4\lambda <32\Leftrightarrow \lambda <\frac{32}{4} \Leftrightarrow \lambda <8
    Si λ∈]−∞;8[\lambda \in\left]-\infty;8\right[ alors l’équation f(z)=λf\left(z\right)=\lambda admet deux solutions complexes conjuguées.
    Question 4
    Soit (F)\left(F\right) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe zz vérifie ∣f(z)−8∣=3\left|f\left(z\right)-8\right|=3.

    Prouver que (F)\left(F\right) est le cercle de centre Ω(−1;0)\Omega \left(-1;0\right) et de rayon 3\sqrt{3}.

    Correction
     D’une part :\red{\text{ D'une part :}}
    f(z)−8=z2+2z+9−8f\left(z\right)-8=z^{2} +2z+9-8
    f(z)−8=z2+2z+1f\left(z\right)-8=z^{2} +2z+1
    f(z)−8=(z+1)2f\left(z\right)-8=\left(z+1\right)^{2}
     D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}}
    ∣f(z)−8∣=∣(z+1)2∣\left|f\left(z\right)-8\right|=\left|\left(z+1\right)^{2} \right|
    • ∣z2∣=∣z∣2\left|z^{2} \right|=\left|z\right|^{2}
    ∣f(z)−8∣=∣z+1∣2\left|f\left(z\right)-8\right|=\left|z+1\right|^{2}
     Enfin :\red{\text{ Enfin :}}
    ∣f(z)−8∣=3\left|f\left(z\right)-8\right|=3 équivaut successivement à :
    ∣z+1∣2=3\left|z+1\right|^{2}=3
    ∣z+1∣=3\left|z+1\right|=\sqrt{3}
    On pose zΩ=1z_{\Omega} =1 ainsi ∣z−zΩ∣=3\left|z-z_{\Omega} \right|=\sqrt{3}
    Il en résulte que ΩM=3\Omega M=\sqrt{3}
    L'ensemble des points MM du plan tel que ∣z+1∣=3\left|z+1\right|=\sqrt{3} est le cercle de centre Ω\Omega et de rayon 3\sqrt{3}.
    Question 5
    Soit zz un nombre complexe, tel que z=x+iyz=x+iy où x x et yy sont des nombres réels.

    Montrer que la forme algébrique de f(z)f\left(z\right) est : x2−y2+2x+9+i(2xy+2y)x^{2}-y^{2}+2x+9+i(2xy+2y).

    Correction
    f(z)=z2+2z+9f\left(z\right)=z^{2}+2z+9 équivaut successivement à :
    f(z)=(x+iy)2+2(x+iy)+9f\left(z\right)=\left(x+iy\right)^{2} +2\left(x+iy\right)+9
    f(z)=x2+2ixy+(iy)2+2x+2iy+9f\left(z\right)=x^{2} +2ixy+\left(iy\right)^{2} +2x+2iy+9
    f(z)=x2+2ixy−y2+2x+2iy+9f\left(z\right)=x^{2} +2ixy-y^{2} +2x+2iy+9
    f(z)=x2+2ixy−y2+2x+2iy+9f\left(z\right)=x^{2} +2ixy-y^{2} +2x+2iy+9
    f(z)=x2−y2+2x+9+i(2xy+2y)f\left(z\right)=x^{2}-y^{2}+2x+9+i(2xy+2y)
    Question 6
    On note (E)\left(E\right) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe zz est telle que f(z)f\left(z\right) soit un nombre réel.

    Montrer que (E)\left(E\right) est la réunion de deux droites D1D_{1} et D2D_{2} dont on précisera les équations.

    Correction
    f(z)f\left(z\right) est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
    Or : f(z)=x2−y2+2x+9+i(2xy+2y)f\left(z\right)=x^{2}-y^{2}+2x+9+i(2xy+2y)
    Il faut donc que 2xy+2y=02xy+2y=0
    On factorise par yy
    y(2x+2)=0y\left(2x+2\right)=0
    On reconnait une équation produit nul.
    Soit :
    y=0y=0 ou 2x+2=02x+2=0
    y=0y=0 ou 2x=−22x=-2
    y=0y=0 ou x=−22x=\frac{-2}{2}
    y=0y=0 ou x=−1x=-1
    Donc (E)\left(E\right) est la réunion de deux droites D1D_{1} d’équation y=0y =0 (l’axe des abscisses) et D2D_{2} d’équation x=−1x=-1.

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