Exercices types : Des classiques - Exercice 2

$$f\left(-1+i\sqrt{3} \right)=\left(-1+i\sqrt{3} \right)^{2} +2\left(-1+i\sqrt{3} \right)+9$$
$$f\left(-1+i\sqrt{3} \right)=1^{2} -2\times 1\times i\sqrt{3} +\left(i\sqrt{3} \right)^{2} +2\times \left(-1\right)+2\times \left(i\sqrt{3} \right)+9$$
$$f\left(-1+i\sqrt{3} \right)=1-2i\sqrt{3} +3i^{2}-2+2i\sqrt{3} +9$$
$$f\left(-1+i\sqrt{3} \right)=1-2i\sqrt{3} +3\times \left(-1\right)-2+2i\sqrt{3} +9$$
$$f\left(-1+i\sqrt{3} \right)=1-2i\sqrt{3} -3-2+2i\sqrt{3} +9$$

$$f\left(z\right)=5$$ équivaut successivement à :
$$z^{2}+2z+9=5$$
$$z^{2}+2z+4=0$$
$$\Delta =2^{2}-4\times1\times4=-12$$.
$$\Delta <0$$ ,il existe donc deux racines complexes conjuguées notées $$z_{1}$$et $$z_{2}$$ tels que $$z_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}$$ et $$z_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}$$
et
Donc $$S=\left\{-1-i\sqrt{3} ;-1+i\sqrt{3} \right\}$$

$$f\left(z\right)=\lambda$$ équivaut successivement à :
$$z^{2}+2z+9=\lambda$$
$$z^{2}+2z+9-\lambda=0$$
Pour que l’équation $$f\left(z\right)=\lambda$$ admette deux solutions complexes conjuguées, il faut que le discriminant du polynôme $$z^{2}+2z+9-\lambda$$ soit strictement négatif.
$$\Delta =2^{2} -4\times 1\times \left(9-\lambda \right)$$
$$\Delta =4-4\left(9-\lambda \right)$$
$$\Delta =4-36+4\lambda$$
$$\Delta =-32+4\lambda$$
$$\Delta <0\Leftrightarrow -32+4\lambda <0\Leftrightarrow 4\lambda <32\Leftrightarrow \lambda <\frac{32}{4} \Leftrightarrow \lambda <8$$
Si $$\lambda \in\left]-\infty;8\right[$$ alors l’équation $$f\left(z\right)=\lambda$$ admet deux solutions complexes conjuguées.

$$\red{\text{ D'une part :}}$$
$$f\left(z\right)-8=z^{2} +2z+9-8$$
$$f\left(z\right)-8=z^{2} +2z+1$$
$$f\left(z\right)-8=\left(z+1\right)^{2}$$
$$\red{\text{ D'autre part :}}$$
$$\left|f\left(z\right)-8\right|=\left|\left(z+1\right)^{2} \right|$$
$$\left|f\left(z\right)-8\right|=\left|z+1\right|^{2}$$
$$\red{\text{ Enfin :}}$$
$$\left|f\left(z\right)-8\right|=3$$ équivaut successivement à :
$$\left|z+1\right|^{2}=3$$
$$\left|z+1\right|=\sqrt{3}$$
On pose $$z_{\Omega} =1$$ ainsi $$\left|z-z_{\Omega} \right|=\sqrt{3}$$
Il en résulte que $$\Omega M=\sqrt{3}$$
L'ensemble des points $$M$$ du plan tel que $$\left|z+1\right|=\sqrt{3}$$ est le cercle de centre $$\Omega$$ et de rayon $$\sqrt{3}$$.

$$f\left(z\right)=z^{2}+2z+9$$ équivaut successivement à :
$$f\left(z\right)=\left(x+iy\right)^{2} +2\left(x+iy\right)+9$$
$$f\left(z\right)=x^{2} +2ixy+\left(iy\right)^{2} +2x+2iy+9$$
$$f\left(z\right)=x^{2} +2ixy-y^{2} +2x+2iy+9$$
$$f\left(z\right)=x^{2} +2ixy-y^{2} +2x+2iy+9$$
$$f\left(z\right)=x^{2}-y^{2}+2x+9+i(2xy+2y)$$

$$f\left(z\right)$$ est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
Or : $$f\left(z\right)=x^{2}-y^{2}+2x+9+i(2xy+2y)$$
Il faut donc que $$2xy+2y=0$$
On factorise par $$y$$
$$y\left(2x+2\right)=0$$
On reconnait une équation produit nul.
Soit :
$$y=0$$ ou $$2x+2=0$$
$$y=0$$ ou $$2x=-2$$
$$y=0$$ ou $$x=\frac{-2}{2}$$
$$y=0$$ ou $$x=-1$$
Donc $$\left(E\right)$$ est la réunion de deux droites $$D_{1}$$ d’équation $$y =0$$ (l’axe des abscisses) et $$D_{2}$$ d’équation $$x=-1$$.