Exercice 3 utilisé sur expert - Exercice 1

La proposition est vraie.
Soit $$B$$ le point d'affixe $$z_{B} =4$$ et $$C$$ le point d'affixe $$z_{C} =-2i$$ ; on appelle $$M$$ le point d'affixe $$z$$.
$$\left|z-4\right|=\left|z+2{\text i}\right|$$ équivaut successivement à
$$\left|z-z_{B} \right|=\left|z-z_{C} \right|$$
$$MB=MC$$
Donc L'ensemble des points du plan d'affixe $$z$$ tels que $$\left|z-4\right|=\left|z+2{\text i}\right|$$ est la médiatrice $$\Delta$$ du segment $$\left[BC\right]$$.

On appelle $$z_{A}$$ l'affixe du point $$A$$.
$$AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|4-3{\text i}\right|=\sqrt{16+9} =5$$
$$AC=\left|z_{C} -z_{A} \right|=\left|-2{\text i}-3{\text i}\right|=\left|5{\text i}\right|=5$$

Donc le point $$A$$ est à égale distance de $$B$$ et de $$C$$ ; il appartient donc à la droite $$\Delta$$, médiatrice de $$\left[BC\right]$$.
L'ensemble des points du plan d'affixe $$z$$ tels que $$\left|z-4\right|=\left|z+2{\text i}\right|$$ est donc la droite médiatrice du segment $$\left[BC\right]$$ et cette droite passe par le point $$A$$ d'affixe $$3i$$.

La proposition est vraie.
L'équation $$z-1=0$$ a pour solution le nombre $$a=1$$ affixe d'un point appelé $$A$$.
On résout dans $$C$$ l'équation $$\left(z^{2} -8z+25\right)=0\Delta =-36$$.
Donc cette équation admet deux solutions complexes conjuguées $$b=4+3{\text i\; }$$et $$c=4-3{\text i\; }$$affixe respectivement des points $$B$$ et $$C$$.
L'équation $$\left(E\right)$$ a donc trois solutions qui sont les affixes des trois points $$A$$, $$B$$ et $$C$$.

• $$AB^{2} =\left|b-a\right|^{2} =\left|4+3{\text i-1}\right|^{2} =\left|3+3{\text i}\right|^{2} =9+9=18$$
• $$AC^{2} =\left|c-a\right|^{2} =\left|4-3{\text i-1}\right|^{2} =\left|3-3{\text i}\right|^{2} =9+9=18$$
• $$BC^{2} =\left|c-b\right|^{2} =\left|4-3{\text i-4-3i}\right|^{2} =\left|-6{\text i}\right|^{2} =36$$

• 18 + 18 = 36 donc $$\left(BC\right)^{2} =\left(AB\right)^{2} +\left(AC\right)^{2}$$ , d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$A$$.

Donc les points du plan dont les affixes sont les solutions dans $$C$$ de l'équation $$\left(E\right)$$ sont les sommets d'un triangle rectangle.

La proposition est fausse.
Soit $$z$$ le nombre complexe $$-\sqrt{3} +{\text i}$$; on cherche $$\theta$$ un argument de $$z$$
On commence par calculer le module de $$z$$
$$\left|z\right|=\sqrt{\left(-\sqrt{3} \right)+1} =\sqrt{4} =2$$
On cherche donc $$\theta$$ tel que $$\cos \left(\theta \right)=-\frac{\sqrt{3} }{2}$$ et $$\sin \left(\theta \right)=\frac{1}{2}$$, un argument de $$z$$ est donc $$\theta =\frac{5\pi }{6} \left[2\pi \right]$$.
D'après le cours : $$\arg \left(z^{n} \right)=n\arg \left(z\right)\left[2\pi \right]$$
Donc un argument de $$z^{8}$$ est $$8\theta =\frac{40\pi }{6} =\frac{20\pi }{3} \left[2\pi \right]$$.
Il nous faut maintenant donner la mesure principale de $$\frac{20\pi }{3}$$.
Ainsi : $$\frac{20\pi }{3}=\frac{20\pi }{3}-6\pi=\frac{2\pi }{3}$$
Donc un argument de $$z^{8}$$ est alors $$\frac{2\pi }{3} \left[2\pi \right]$$.