Les nombres complexes

Exercice 2 utilisé sur expert - Exercice 1

1 min
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Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Il est bien sûr demandé de justifier !
Question 1
On pose z=−2+2+i2−2z=-\sqrt{2+\sqrt{2} } +i\sqrt{2-\sqrt{2} } .

La forme algébrique de z2z^{2} est :
  • 222\sqrt{2}
  • 22−2i22\sqrt{2} -2i\sqrt{2}
  • 2+2+i(2−2)2+\sqrt{2} +i(2-\sqrt{2} )
  • 22+2i22\sqrt{2} +2i\sqrt{2}

Correction
La bonne réponse est b.
z2=(−2+2+i2−2)2z^{2} =(-\sqrt{2+\sqrt{2} } +i\sqrt{2-\sqrt{2} } )^{2} équivaut successivement à
z2=(−2+2+i2−2)2=(−2+2)2−2i(2+2)(2−2)+(i2−2)2z^{2} =(-\sqrt{2+\sqrt{2} } +i\sqrt{2-\sqrt{2} } )^{2} =\left(-\sqrt{2+\sqrt{2} } \right)^{2} -2i\sqrt{\left(2+\sqrt{2} \right)\left(2-\sqrt{2} \right)} +\left(i\sqrt{2-\sqrt{2} } \right)^{2}
z2=(−2+2+i2−2)2=2+2−2i(2+2)(2−2)−(2−2)z^{2} =(-\sqrt{2+\sqrt{2} } +i\sqrt{2-\sqrt{2} } )^{2} =2+\sqrt{2} -2i\sqrt{\left(2+\sqrt{2} \right)\left(2-\sqrt{2} \right)} -\left(2-\sqrt{2} \right)
z2=(−2+2+i2−2)2=2+2−2i22−(2)2−(2−2)z^{2} =(-\sqrt{2+\sqrt{2} } +i\sqrt{2-\sqrt{2} } )^{2} =2+\sqrt{2} -2i\sqrt{2^{2} -\left(\sqrt{2} \right)^{2} } -\left(2-\sqrt{2} \right)
z2=(−2+2+i2−2)2=2+2−2i2−2+2z^{2} =(-\sqrt{2+\sqrt{2} } +i\sqrt{2-\sqrt{2} } )^{2} =2+\sqrt{2} -2i\sqrt{2} -2+\sqrt{2}
z2=22−2i2z^{2} =2\sqrt{2} -2i\sqrt{2}
Question 2

z2z^{2} s'écrit sous forme exponentielle :
  • 4eiπ44e^{i\frac{\pi }{4} }
  • 4e−iπ44e^{-i\frac{\pi }{4} }
  • 4ei3π44e^{i\frac{3\pi }{4} }
  • 4e−i3π44e^{-i\frac{3\pi }{4} }

Correction
La bonne réponse est b.
  • Calculons d'une par le module de z2z^{2}
    • On a ∣z2∣=8+8=16=4\left|z^{2} \right|=\sqrt{8+8} =\sqrt{16} =4.
  • Calculons d'autre part l'argument de z2z^{2}
    • {cos⁡(θ)=partie reelle de z2module de z2sin⁡(θ)=partie imaginaire de z2module de z2\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{{\text{partie reelle de }}z^{2} }{{\text{module de }}z^{2} } } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{{\text{partie imaginaire de }}z^{2} }{{\text{module de }}z^{2} } } \end{array}\right.
    On a donc {cos⁡(θ)=224sin⁡(θ)=−224\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{2\sqrt{2} }{4} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {-\frac{2\sqrt{2} }{4} } \end{array}\right. après simplification {cos⁡(θ)=22sin⁡(θ)=−22\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {-\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=−π4[2π]\theta =-\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]
    Il en résulte que la forme exponentielle de z2z^{2} est alors :
    z2=4e−iπ4z^{2} =4e^{-i\frac{\pi }{4} }
    Question 3

    zz s'écrit sous forme exponentielle :
    • 2ei7π82e^{i\frac{7\pi }{8} }
    • 2eiπ82e^{i\frac{\pi }{8} }
    • 2ei5π82e^{i\frac{5\pi }{8} }
    • 2ei3π82e^{i\frac{3\pi }{8} }

    Correction
    La bonne réponse est a.
    • ∣zn∣=∣z∣n\left|z^{n} \right|=\left|z\right|^{n}
    • arg⁡(zn)=n×arg⁡(z)[2π]\arg \left(z^{n} \right)=n\times \arg \left(z\right)\left[2\pi \right]
    Comme ∣z2∣=4\left|z^{2} \right|=4 alors ∣z∣2=4\left|z\right|^{2} =4 ainsi ∣z∣=4\left|z\right|=\sqrt{4} .
    Donc le module de zz est 22.
    Or : arg⁡(zn)=n×arg⁡(z)[2π]\arg \left(z^{n} \right)=n\times \arg \left(z\right)\left[2\pi \right]
    Donc : arg⁡(z)=arg⁡(z2)2[2π]\arg \left(z\right)=\frac{\arg \left(z^{2} \right)}{2} \left[2\pi \right]
    Ainsi : arg⁡(z)=(−π4)2[2π]\arg \left(z\right)=\frac{\left(\frac{-\pi }{4} \right)}{2} \left[2\pi \right]
    arg⁡(z)=−π8[2π]\arg \left(z\right)=\frac{-\pi }{8} \left[2\pi \right]
    Or : −π8+2π=7π8\frac{-\pi }{8} +2\pi =\frac{7\pi }{8}
    Donc l'écriture exponentielle de zz est :
    z=2ei7π8z=2e^{i\frac{7\pi }{8} }
    Question 4

    2+22\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2} et 2−22\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2} sont les cosinus et sinus de :
    • 7π8\frac{7\pi }{8}
    • 5π8\frac{5\pi }{8}
    • 3π8\frac{3\pi }{8}
    • π8\frac{\pi }{8}

    Correction
    La bonne réponse est d.
    D'après la question précédente on sait que :
    z=2ei7π8z=2e^{i\frac{7\pi }{8} }
    La forme trigonométrique est alors :
    z=2(cos⁡(7π8)+isin⁡(7π8))z=2\left(\cos \left(\frac{7\pi }{8} \right)+i\sin \left(\frac{7\pi }{8} \right)\right)
    Or on sait que z=−2+2+i2−2z=-\sqrt{2+\sqrt{2} } +i\sqrt{2-\sqrt{2} } ce qui s'écrit également z=(−2+22+i2−22)z=\left(\frac{-\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2} +i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2} \right)
    On a d'une part z=2(cos⁡(7π8)+isin⁡(7π8))z=2\left(\cos \left(\frac{7\pi }{8} \right)+i\sin \left(\frac{7\pi }{8} \right)\right) et d'autre part z=(−2+22+i2−22)z=\left(\frac{-\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2} +i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2} \right)
    Par identification, il vient alors que :
    cos⁡(7π8)=−2+22\cos \left(\frac{7\pi }{8} \right)=\frac{-\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2}
    sin⁡(7π8)=2−22\sin \left(\frac{7\pi }{8} \right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2}
    On sait que cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha et que sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha .
    Donc :
    cos⁡(π−7π8)=−cos⁡(π8)=2+22\cos \left(\pi -\frac{7\pi }{8} \right)=-\cos \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2}
    sin⁡(π−7π8)=−sin⁡(π8)=2−22\sin \left(\pi -\frac{7\pi }{8} \right)=-\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2}
    Donc 2+22\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2} et 2−22\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2} sont les cosinus et sinus du supplément à π\pi de 7π8\frac{7\pi }{8} , donc de π8.\frac{\pi }{8} .