Equations du 1er degré dans C\mathbb{C} - Exercice 1

25 min
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Résoudre dans C\mathbb{C} les équations ci-dessous. Les solutions doivent être données sous forme algébrique.
Question 1

2z+2i−1=5z+4i2z+2i-1=5z+4i

Correction
2z−5z=1−2i+4i2z-5z=1-2i+4i équivaut successivement à
−3z=1+2i-3z=1+2i
z=−13−23iz=-\frac{1}{3} -\frac{2}{3} i
Ainsi la solution est S={−13−23i}S=\left\{-\frac{1}{3} -\frac{2}{3} i\right\}
Question 2

3z+4i−2=−z+2i+33z+4i-2=-z+2i+3

Correction
3z+4i−2=−z+2i+33z+4i-2=-z+2i+3 équivaut successivement à
3z+z=2i+3−4i+23z+z=2i+3-4i+2
4z=−2i+54z=-2i+5
z=54−24iz=\frac{5}{4} -\frac{2}{4} i
z=54−12iz=\frac{5}{4} -\frac{1}{2} i
Ainsi la solution est S={54−12i}S=\left\{\frac{5}{4} -\frac{1}{2} i\right\}
Question 3

−z+2=2z−3i−5-z+2=2z-3i-5

Correction
−z+2=2z−3i−5-z+2=2z-3i-5 équivaut successivement à
−z−2z=−2−3i−5-z-2z=-2-3i-5
−3z=−7−3i-3z=-7-3i
z=−7−3i−3z=\frac{-7-3i}{-3}
z=−7−3+−3i−3z=\frac{-7}{-3} +\frac{-3i}{-3}
z=73+iz=\frac{7}{3} +i
Ainsi la solution est S={73+i}S=\left\{\frac{7}{3} +i\right\}
Question 4

iz=2iz=2

Correction
Soit iz=2iz=2
On a z=2iz=\frac{2}{i}
On doit donner la forme algébrique (on multiplie par le conjugué du dénominateur).
z=2(−i)i(−i)=−2iz=\frac{2\left(-i\right)}{i\left(-i\right)} =-2i
Ainsi la solution est S={−2i}S=\left\{-2i\right\}
Question 5

(2+i)z=1+i\left(2+i\right)z=1+i

Correction
(2+i)z=1+i\left(2+i\right)z=1+i équivaut successivement à
z=1+i2+iz=\frac{1+i}{2+i} . On doit donner la forme algébrique (on multiplie par le conjugué du dénominateur)
z=(1+i)(2−i)(2+i)(2−i)z=\frac{\left(1+i\right)\left(2-i\right)}{\left(2+i\right)\left(2-i\right)}
z=2−i+2i−i222+12z=\frac{2-i+2i-i^{2} }{2^{2} +1^{2} }
z=2−i+2i−(−1)5z=\frac{2-i+2i-\left(-1\right)}{5}
z=2−i+2i+15z=\frac{2-i+2i+1}{5}
z=3+i5z=\frac{3+i}{5}
z=35+15iz=\frac{3}{5} +\frac{1}{5} i
Ainsi la solution est S={35+15i}S=\left\{\frac{3}{5} +\frac{1}{5} i\right\}
Question 6

3iz+5=2z+i+13iz+5=2z+i+1

Correction
3iz+5=2z+i+13iz+5=2z+i+1
Il vient alors que :
3iz−2z=−5+i+13iz-2z=-5+i+1
d'où z(3i−2)=−4+iz\left(3i-2\right)=-4+i (on a factorisé par zz)
Ainsi, z=−4+i3i−2z=\frac{-4+i}{3i-2}
Soit z=(−4+i)(−3i−2)(3i−2)(−3i−2)z=\frac{\left(-4+i\right)\left(-3i-2\right)}{\left(3i-2\right)\left(-3i-2\right)} . On doit donner la forme algébrique (on multiplie par le conjugué du dénominateur)
z=−4×(−3i)−4×(−2)+i×(−3i)+i×(−2)32+22z=\frac{-4\times \left(-3i\right)-4\times \left(-2\right)+i\times \left(-3i\right)+i\times \left(-2\right)}{3^{2} +2^{2} }
z=12i+8−3i2−2i13z=\frac{12i+8-3i^{2} -2i}{13}
z=12i+8−3×(−1)−2i13z=\frac{12i+8-3\times \left(-1\right)-2i}{13}
z=12i+8+3−2i13z=\frac{12i+8+3-2i}{13}
z=11+10i13z=\frac{11+10i}{13}
z=1113+1013iz=\frac{11}{13} +\frac{10}{13} i
Ainsi la solution est S={1113+1013i}S=\left\{\frac{11}{13} +\frac{10}{13} i\right\}
Question 7

z+4−5i=2+2izz+4-5i=2+2iz

Correction
z+4−5i=2+2izz+4-5i=2+2iz
Il vient alors que :
z−2iz=−4+5i+2z-2iz=-4+5i+2
z−2iz=−2+5iz-2iz=-2+5i
d'où z(1−2i)=−2+5iz\left(1-2i\right)=-2+5i (on a factorisé par zz)
Ainsi : z=−2+5i1−2iz=\frac{-2+5i}{1-2i}
Soit : z=(−2+5i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)z=\frac{\left(-2+5i\right)\left(1+2i\right)}{\left(1-2i\right)\left(1+2i\right)}
z=−2−4i+5i+10i212+22z=\frac{-2-4i+5i+10i^{2} }{1^{2} +2^{2} }
z=−12+i5z=\frac{-12+i}{5}
Finalement : z=−125+15iz=-\frac{12}{5} +\frac{1}{5} i
Ainsi la solution est S={−125+15i}S=\left\{-\frac{12}{5} +\frac{1}{5} i\right\}
Question 8

(z+2i)(2z−4+2i)=0\left(z+2i\right)\left(2z-4+2i\right)=0

Correction
On a une équation produit nul (z+2i)(2z−4+2i)=0\left(z+2i\right)\left(2z-4+2i\right)=0 c'est-à-dire
z+2i=0z+2i=0 ou 2z−4+2i=02z-4+2i=0
  • Résolvons d'une part :
    • z+2i=0z+2i=0 donc z=−2iz=-2i
  • Résolvons d'autre part :
    • 2z−4+2i=0⇔2z=4−2i⇔z=4−2i2⇔z=2−i2z-4+2i=0\Leftrightarrow 2z=4-2i\Leftrightarrow z=\frac{4-2i}{2} \Leftrightarrow z=2-i
    Ainsi les solutions sont : S={−2i;2−i}S=\left\{-2i;2-i\right\}
    Question 9

    z+12z+1=1+i\frac{z+1}{2z+1} =1+i

    Correction

    AB=CD⇔A×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C

    Soit z≠−12z\ne -\frac{1}{2} , z+12z+1=1+i\frac{z+1}{2z+1} =1+i peut s'écrire z+12z+1=1+i1\frac{z+1}{2z+1} =\frac{1+i}{1} .
    Il vient alors que :
    z+1=(2z+1)(1+i)z+1=\left(2z+1\right)\left(1+i\right) équivaut successivement à
    z+1=2z+2iz+1+iz+1=2z+2iz+1+i
    z−2z−2iz=iz-2z-2iz=i
    z(−1−2i)=iz\left(-1-2i\right)=i
    z=i−1−2iz=\frac{i}{-1-2i}
    z=i(−1+2i)(−1−2i)(−1+2i)z=\frac{i\left(-1+2i\right)}{\left(-1-2i\right)\left(-1+2i\right)}
    z=i×(−1)+i×2i12+22z=\frac{i\times \left(-1\right)+i\times 2i}{1^{2} +2^{2} }
    z=−i+2i25z=\frac{-i+2i^{2} }{5}
    z=−i−25z=\frac{-i-2}{5}
    z=−25−15iz=-\frac{2}{5} -\frac{1}{5} i
    Ainsi la solution est S={−25−15i}S=\left\{-\frac{2}{5} -\frac{1}{5} i\right\}
    Question 10

    z−3+iz+2−i=−2i\frac{z-3+i}{z+2-i} =-2i

    Correction

    AB=CD⇔A×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C

    Soit z≠−2+iz\ne -2+i , z−3+iz+2−i=−2i\frac{z-3+i}{z+2-i} =-2i peut s'écrire z−3+iz+2−i=−2i1\frac{z-3+i}{z+2-i} =\frac{-2i}{1} .
    Il vient alors que :
    (z+2−i)×(−2i)=(z−3+i)×1\left(z+2-i\right)\times \left(-2i\right)=\left(z-3+i\right)\times 1 équivaut successivement à
    −2iz−4i+2i2=z−3+i-2iz-4i+2i^{2}=z-3+i
    −2iz−4i−2=z−3+i-2iz-4i-2=z-3+i
    −2iz−z=−3+i+4i+2-2iz-z=-3+i+4i+2
    −2iz−z=−1+5i-2iz-z=-1+5i
    z(−1−2i)=−1+5iz\left(-1-2i\right)=-1+5i
    z=−1+5i−1−2iz=\frac{-1+5i}{-1-2i}
    z=(−1+5i)(−1+2i)(−1−2i)(−1+2i)z=\frac{\left(-1+5i\right)\left(-1+2i\right)}{\left(-1-2i\right)\left(-1+2i\right)}
    z=−1×(−1)−1×2i+5i×(−1)+5i×2i12+22z=\frac{-1\times \left(-1\right)-1\times 2i+5i\times \left(-1\right)+5i\times 2i}{1^{2} +2^{2} }
    z=1−2i−5i+10i25z=\frac{1-2i-5i+10i^{2} }{5}
    z=1−2i−5i+10×(−1)5z=\frac{1-2i-5i+10\times \left(-1\right)}{5}
    z=1−2i−5i−105z=\frac{1-2i-5i-10}{5}
    z=−9−7i5z=\frac{-9-7i}{5}
    z=−95−75iz=-\frac{9}{5} -\frac{7}{5} i
    Ainsi la solution est S={−95−75i}S=\left\{-\frac{9}{5} -\frac{7}{5} i\right\}

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