Les nombres complexes

Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 3

20 min
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Question 1

Soit zz un nombre complexe différent de 11, écrit sous la forme z=x+iyz=x+iy où xx et yy sont deux réels.
Calculez le nombre complexe Z=z−1z+1Z=\frac{z-1}{z+1} sous forme algébrique.

Correction
Z=z−1z+1Z=\frac{z-1}{z+1} équivaut successivement à :
Z=x+iy−1x+iy+1Z=\frac{x+iy-1}{x+iy+1}
Z=(x+iy−1)((x+1)−iy)((x+1)+iy)((x+1)−iy)Z=\frac{\left(x+iy-1\right)\left(\left(x+1\right)-iy\right)}{\left(\left(x+1\right)+iy\right)\left(\left(x+1\right)-iy\right)}
Z=(x+iy−1)(x+1−iy)(x+1)2+y2Z=\frac{\left(x+iy-1\right)\left(x+1-iy\right)}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }
Z=x2+x−ixy+iyx+iy−i2y2−x−1+iy(x+1)2+y2Z=\frac{x^{2} +x-ixy+iyx+iy-i^{2} y^{2} -x-1+iy}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }
Z=x2+x−ixy+iyx+iy+y2−x−1+iy(x+1)2+y2Z=\frac{x^{2} +x-ixy+iyx+iy+y^{2} -x-1+iy}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }
Z=x2+y2−1+2iy(x+1)2+y2Z=\frac{x^{2} +y^{2} -1+2iy}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }
Z=x2+y2−1(x+1)2+y2+2y(x+1)2+y2iZ=\frac{x^{2} +y^{2} -1}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } +\frac{2y}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } i
La partie réelle de ZZ, notée Re(Z)Re\left(Z\right), est : Re(Z)=x2+y2−1(x+1)2+y2Re\left(Z\right)=\frac{x^{2} +y^{2} -1}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }
La partie imaginaire de ZZ, notée Im(Z)Im\left(Z\right), est : Im(Z)=2y(x+1)2+y2Im\left(Z\right)=\frac{2y}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }
Question 2

Déterminer et représenter dans le repère (0;u⃗;v⃗)\left(0;\vec{u} ;\vec{v} \right) l'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel.

Correction
ZZ est un réel si et seulement si la partie Imaginaire de ZZ est nulle, c'est-à-dire Im(Z)=0Im\left(Z\right)=0
2y(x+1)2+y2=0\frac{2y}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } =0 équivaut successivement à
2y=0 et z≠12y=0{\text{ et }}z\ne 1 (on indique z≠1z\ne 1 car c'est la valeur interdite de ZZ)
y=0 et z≠1y=0{\text{ et }}z\ne 1
L'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel est la droite d'équation y=0y=0 privé du point d'affixe 11.
Question 3

Déterminer et représenter dans le repère (0;u⃗;v⃗)\left(0;\vec{u} ;\vec{v} \right) l'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur.

Correction
ZZ est un imaginaire pur si et seulement si la partie réelle de ZZ est nulle, c'est-à-dire Re(Z)=0Re\left(Z\right)=0
x2+y2−1(x+1)2+y2=0\frac{x^{2} +y^{2} -1}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } =0 équivaut successivement à
x2+y2−1=0 et z≠1x^{2} +y^{2} -1=0{\text{ et }}z\ne 1 (on indique z≠1z\ne 1 car c'est la valeur interdite de ZZ)
(x−0)2+(y−0)2−1=0 et z≠1\left(x-0\right)^{2} +\left(y-0\right)^{2} -1=0 {\text{ et }}z\ne 1
(x−0)2+(y−0)2=1 et z≠1\left(x-0\right)^{2} +\left(y-0\right)^{2} =1 {\text{ et }}z\ne 1
L'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur est le cercle de centre Ω(0;0)\Omega \left(0;0 \right) et de rayon 11 privé du point d'affixe 11.
  • N'hésitez pas à reprendre la vidéo comment déterminer une équation de cercle .