Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 2

On pose $$z=x+iy$$ et $$\overline{z}=x-iy$$, on a alors
$$Z=\left(x+iy\right)\left(x-iy\right)+2i\left(x+iy\right)+3\left(x+iy\right)$$ équivaut successivement à
$$Z=x^{2} +y^{2} +2ix-2y+3x+3iy$$
$$Z=x^{2} +y^{2} -2y+3x+i\left(2x+3y\right).$$
On a donc la partie réelle de $$Z$$ qui vaut $$Re\left(Z\right)=x^{2} +y^{2} -2y+3x$$ et la partie imaginaire de $$Z$$ qui vaut $$Im\left(Z\right)=2x+3y$$

$$Z$$ est un réel si et seulement si la partie Imaginaire de $$Z$$ est nulle, c'est-à-dire $$Im\left(Z\right)=0$$
$$Im\left(Z\right)=0$$ équivaut successivement à
$$2x+3y=0$$
$$y=\frac{-2}{3} x$$
L'ensemble $$\left(E\right)$$ des points $$M$$ d'affixe $$z$$ tels que $$Z$$ soit un réel est donc la droite d'équation $$y=\frac{-2}{3} x$$

$$Z$$ est un imaginaire pur si et seulement si la partie réelle de $$Z$$ est nulle, c'est-à-dire $$Re\left(Z\right)=0$$
Ainsi
$$Re\left(Z\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$x^{2} +y^{2} -2y+3x=0$$
$$x^{2} +3x+y^{2} -2y=0$$
$$\left(x+\frac{3}{2} \right)^{2} -\left(\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} -\left(1\right)^{2} =0$$
$$\left(x+\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =\frac{13}{4}$$
$$\left(x+\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =\left(\frac{\sqrt{13} }{2} \right)^{2}$$
L'ensemble $$\left(F\right)$$ des points $$M$$ d'affixe $$z$$ tels que $$Z$$ soit un imaginaire pur est le cercle de centre $$\Omega \left(-\frac{3}{2} ;1\right)$$ et de rayon $$\frac{\sqrt{13} }{2}$$