Des complexes et des suites : A la mode au BAC - Les nombres complexes - TS

Question 1

On définit la suite de nombres complexes

\left(z_{n}\right)

de la manière suivante :

z_{0} = 1

et, pour tout entier naturel

n

,

z_{n+1} =\frac{1}{3} z_{n} +\frac{2}{3} i

.
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct

\left(0;\vec{u} ;\vec{v} \right)

.
Pour tout entier naturel

n

, on note

A_{n}

le point du plan d’affixe

z_{n}

.
Pour tout entier naturel

n

, on pose

u_{n} = z_{n} - i

et on note

B_{n}

le point d’affixe

u_{n}

. On note

C

le point d’affixe

i

.

Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ , pour tout entier naturel $n$ .

Correction

u_{n+1} =z_{n+1} -i

u_{n+1} =\frac{1}{3} z_{n} +\frac{2}{3} i-i

u_{n+1} =\frac{1}{3} z_{n} +\frac{2}{3} i-\frac{3}{3} i

u_{n+1} =\frac{1}{3} z_{n} -\frac{1}{3} i

u_{n+1} =\frac{1}{3} \left(z_{n} -i\right)

u_{n+1} =\frac{1}{3} u_{n}

\left(u_{n}\right)

est une suite géométrique de raison

\frac{1}{3}

et de premier terme

u_{0} = z_{0} - i

. Ainsi le premier terme

u_{0} =1-i

.

Question 2

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $u_{n} =\left(\frac{1}{3} \right)^{n} \left(1+i\right)$

Correction

Nous avons vu a la question précédente, que

\left(u_{n}\right)

est une suite géométrique de raison

\frac{1}{3}

et de premier terme

u_{0} =1-i

.

L'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ est donnée par la formule
$u_{n} =u_{0} \times q^{n}$

Ainsi :

u_{n} =\left(\frac{1}{3} \right)^{n} \left(1-i\right)

Question 3

Pour tout entier naturel $n$ , calculer, en fonction de $n$ , le module de $u_{n}$ .

Correction

Nous savons maintenant que :

u_{n} =\left(\frac{1}{3} \right)^{n} \left(1-i\right)

\left|u_{n} \right|=\left|\left(\frac{1}{3} \right)^{n} \left(1-i\right)\right|

\left|u_{n} \right|=\left|\left(\frac{1}{3} \right)^{n} \right|\times \left|1-i\right|

\left|u_{n} \right|=\left(\frac{1}{3} \right)^{n} \times \left|1-i\right|

\left|u_{n} \right|=\left(\frac{1}{3} \right)^{n} \times \sqrt{1^{2} +\left(-1\right)^{2} }

\left|u_{n} \right|=\left(\frac{1}{3} \right)^{n} \times \sqrt{2}

Question 4

Démontrer que $\lim\limits_{n\to +\infty }\left|z_{n} -i\right|=0$

Correction

D'après la question précédente, on a vu que :

\left|u_{n} \right|=\left(\frac{1}{3} \right)^{n} \times \sqrt{2}

Or

u_{n} = z_{n} - i

donc

\left|u_{n} \right|=\left|z_{n} -i\right|

. De ce fait :

\left|z_{n} -i \right|=\left(\frac{1}{3} \right)^{n} \times \sqrt{2}

D'où :

\lim\limits_{n\to +\infty }\left|z_{n} -i\right|=\lim\limits_{n\to +\infty }\left(\frac{1}{3} \right)^{n} \times \sqrt{2}

Si $-1<q<1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0$ .
Si $q >1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty$ .

Comme

-1<\frac{1 }{3} <1

alors :

\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1 }{3}\right)^{n} =0

\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{2}\times\left(\frac{1 }{3}\right)^{n} =0

Ainsi :

\lim\limits_{n\to +\infty }\left|z_{n} -i\right|=0

Question 5

Quelle interprétation géométrique peut-on donner de ce résultat?

Correction

z_{n}

est l’affixe du point

A_{n}

, et

i

est l’affixe du point

C

.
Le module

\left|z_{n} -i\right|

correspond géométriquement à la distance

A_{n}C

.
Comme

\lim\limits_{n\to +\infty }\left|z_{n} -i\right|=0

cela signifie que lorsque

n

tend vers

+\infty

, la distance entre le point

A_{n}

et le point

C

sera nulle.

Question 6

Soit $n$ un entier naturel. déterminer un argument de $u_{n}$ .

Correction

Nous savons que

u_{n} =\left(\frac{1}{3} \right)^{n} \left(1-i\right)

. Comme

\left(\frac{1}{3} \right)^{n}

est un réel alors :

\arg \left(u_{n} \right)=\arg \left(1-i\right)

Notons

m=1-i

. Nous allons déterminer le module puis l'argument de

m

.

\left|m \right|=\left|1-i\right|=\left(\sqrt{1^{2} +\left(-1\right)^{2} } \right)=\sqrt{2}

L'argument de

m =1-i

est donné par

\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {-\frac{1}{\sqrt{2} } =-\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.

Avec le cercle trigonométrique on en déduit que

\arg \left(m \right)=-\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]

Il en résulte donc que :

\arg \left(u_{n} \right)=\arg \left(1-i\right)=-\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]

Question 7

Démontrer que, lorsque $n$ décrit l’ensemble des entiers naturels, les points $B_{n}$ sont alignés.

Correction

Les points

B_{n}

ont pour affixes les nombres un dont l’argument est constant à

2\pi

près.
Pour tout

n

, chaque point

B_{n}

appartient à la droite d’équation

y =-x

; donc tous les points

B_{n}

sont alignés.
Nous avons représenté ci-dessous tous les points

B_{n}

dont l'argument sera toujours égal à

-\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]

.

Question 8

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , le point $A_{n}$ appartient à la droite d’équation réduite : $y=-x+1$

Correction

Nous savons que

u_{n} =\left(\frac{1}{3} \right)^{n} \left(1-i\right)

et également que

u_{n} = z_{n} - i

.
Il en résulte donc que :

z_{n} = u_{n} + i

Ainsi :

z_{n} = \left(\frac{1}{3} \right)^{n} \left(1-i\right) + i

z_{n} =\left(\frac{1}{3} \right)^{n} -\left(\frac{1}{3} \right)^{n} i+i

z_{n} =\left(\frac{1}{3} \right)^{n} +\left(-\left(\frac{1}{3} \right)^{n} +1\right)i

Nous allons appeler

x

la partie réelle de

z_{n}

et

y

la partie imaginaire de

z_{n}

.
Il vient alors que :

x=\left(\frac{1}{3} \right)^{n}

et

y=1-\left(\frac{1}{3} \right)^{n}

que l'on peut aussi écrire

y=1-x

car

x=\left(\frac{1}{3} \right)^{n}

.
Finalement, le point

A_{n}

appartient à la droite d’équation réduite :

y=-x+1

Des complexes et des suites : A la mode au BAC - Exercice 4

Exprimer un+1u_{n+1}un+1​ en fonction de unu_{n}un​, pour tout entier naturel nnn.

Démontrer que, pour tout entier naturel nnn, on a : un=(13)n(1+i)u_{n} =\left(\frac{1}{3} \right)^{n} \left(1+i\right)un​=(31​)n(1+i)

Pour tout entier naturel nnn, calculer, en fonction de nnn, le module de unu_{n}un​.

Démontrer que lim⁡n→+∞∣zn−i∣=0\lim\limits_{n\to +\infty }\left|z_{n} -i\right|=0n→+∞lim​∣zn​−i∣=0

Quelle interprétation géométrique peut-on donner de ce résultat?

Soit nnn un entier naturel. déterminer un argument de unu_{n}un​.

Démontrer que, lorsque nnn décrit l’ensemble des entiers naturels, les points BnB_{n}Bn​ sont alignés.

Démontrer que, pour tout entier naturel nnn, le point AnA_{n}An​ appartient à la droite d’équation réduite : y=−x+1y=-x+1y=−x+1

Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ , pour tout entier naturel $n$ .

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $u_{n} =\left(\frac{1}{3} \right)^{n} \left(1+i\right)$

Pour tout entier naturel $n$ , calculer, en fonction de $n$ , le module de $u_{n}$ .

Démontrer que $\lim\limits_{n\to +\infty }\left|z_{n} -i\right|=0$

Soit $n$ un entier naturel. déterminer un argument de $u_{n}$ .

Démontrer que, lorsque $n$ décrit l’ensemble des entiers naturels, les points $B_{n}$ sont alignés.

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , le point $A_{n}$ appartient à la droite d’équation réduite : $y=-x+1$