Des complexes et des suites : A la mode au BAC - Exercice 3

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On considère la suite de nombres complexes (zn)\left(z_{n}\right) définie par z0=3z_{0}=3 et pour tout entier naturel nn, zn+1=(1+i3)znz_{n+1}=\left(\frac{1+i}{3}\right)z_{n}
Question 1
Pour tout entier naturel nn, on pose un=∣zn∣u_{n} =\left|z_{n} \right|

Démontrer que (un)\left(u_{n}\right) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Correction
un=∣zn∣u_{n} =\left|z_{n} \right|
un+1=∣zn+1∣u_{n+1} =\left|z_{n+1} \right|
un+1=∣(1+i3)zn∣u_{n+1} =\left|\left(\frac{1+i}{3} \right)z_{n} \right|
un+1=∣(1+i3)∣×∣zn∣u_{n+1} =\left|\left(\frac{1+i}{3} \right)\right|\times \left|z_{n} \right|
un+1=(13)2+(13)2×∣zn∣u_{n+1} =\sqrt{\left(\frac{1}{3} \right)^{2} +\left(\frac{1}{3} \right)^{2} } \times \left|z_{n} \right|
un+1=23×∣zn∣u_{n+1} =\frac{\sqrt{2} }{3} \times \left|z_{n} \right| . Or un=∣zn∣u_{n} =\left|z_{n} \right|. Il vient alors que :
un+1=23×unu_{n+1} =\frac{\sqrt{2} }{3} \times u_{n}

(un)\left(u_{n}\right) est une suite géométrique de raison 23\frac{\sqrt{2} }{3} et de premier terme u0=∣z0∣u_{0} =\left|z_{0} \right|. Ainsi le premier terme u0=∣3∣=3u_{0} =\left|3\right|=3.
Question 2

Pour tout entier naturel nn, exprimer unu_{n} en fonction de nn.

Correction
D'après la question précédente, on a vu que (un)\left(u_{n}\right) est une suite géométrique de raison 23\frac{\sqrt{2} }{3} et de premier terme u0=3u_{0}=3.
  • L'expression de unu_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    un=u0×qnu_{n} =u_{0} \times q^{n}
Ainsi :
un=3×(23)nu_{n} =3\times \left(\frac{\sqrt{2} }{3} \right)^{n}
Question 3

Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right).

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<23<1-1<\frac{\sqrt{2} }{3} <1 alors :
lim⁡n→+∞(23)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{\sqrt{2} }{3}\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞3×(23)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 3\times\left(\frac{\sqrt{2} }{3}\right)^{n} =0
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0

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