Des complexes et des suites : A la mode au BAC - Exercice 3
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On considère la suite de nombres complexes (zn) définie par z0=3 et pour tout entier naturel n, zn+1=(31+i)zn
Question 1
Pour tout entier naturel n, on pose un=∣zn∣
Démontrer que (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Correction
un=∣zn∣ un+1=∣zn+1∣ un+1=∣∣(31+i)zn∣∣ un+1=∣∣(31+i)∣∣×∣zn∣ un+1=(31)2+(31)2×∣zn∣ un+1=32×∣zn∣ . Or un=∣zn∣. Il vient alors que :
un+1=32×un
(un) est une suite géométrique de raison 32 et de premier terme u0=∣z0∣. Ainsi le premier terme u0=∣3∣=3.
Question 2
Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.
Correction
D'après la question précédente, on a vu que (un) est une suite géométrique de raison 32 et de premier terme u0=3.
L'expression de un en fonction de n est donnée par la formule
un=u0×qn
Ainsi :
un=3×(32)n
Question 3
Déterminer la limite de la suite (un).
Correction
Si −1<q<1 alors n→+∞limqn=0.
Si q>1 alors n→+∞limqn=+∞.
Comme −1<32<1 alors : n→+∞lim(32)n=0 n→+∞lim3×(32)n=0 Ainsi :