On considère les points A,B et C d'affixes respectifs zA=1+i, zB=−1+3, zC=−i(1+3)
Question 1
Déterminer les affixes des vecteurs ABet AC Déduisez-en que les points A,B et C sont alignés.
Correction
Première méthode D’une part : zAB=zB−zA équivaut successivement à zAB=−1+3−1−i
zAB=−2+3−i
Avec une Texas : zAC=zC−zA zAC=−i(1+3)−1−i zAC=−2+3−i
zAC=−1+i(−2−3)
Nous allons maintenant faire le quotient des parties réelles de zAB et de zAC et le des parties imaginaires de zAB et de zAC. Si les deux quotient sont égaux alors les vecteurs ABet AC seront colinéaires et donc les points A,B et C sont alignés. Quotient des parties réelles Re(zAC)Re(zAB)=−1−2+3 équivaut successivement à
Re(zAC)Re(zAB)=2−3
Quotient des parties réelles Im(zAC)Im(zAB)=−2−3−1 d'où Im(zAC)Im(zAB)=(−2−3)(−2+3)−1(−2+3) (ici on multiplie par −2+3 afin de faire apparaitre au dénominateur l'identité remarquable a2−b2) On a donc Im(zAC)Im(zAB)=(−2−3)(−2+3)−1(−2+3) équivaut successivement à Im(zAC)Im(zAB)=(−2)2−(3)2−1(−2+3)
Im(zAC)Im(zAB)=2−3
On en conclut que les vecteurs AB et AC sont colinéaires car
zAB=(2−3)zAC
Finalement, les points A,B et C sont alignés. Deuxième méthode Calculer zB−zCzA−zC En déduire que les points A,B et C sont alignés. zB−zCzA−zC=−1+3−(−i(1+3))1+i−(−i(1+3)) zB−zCzA−zC=−1+3+i+i31+i+i+i3 zB−zCzA−zC=−1+3+i+i31+2i+i3 On multiplie par le conjugué du dénominateur zB−zCzA−zC=(−1+3+i+i3)(−1+3−i−i3)(1+2i+i3)(−1+3−i−i3) zB−zCzA−zC=21+3 Donnons son module et son argument. D'une part ∣∣zB−zCzA−zC∣∣=∣∣21+3∣∣ donc ∣∣zB−zCzA−zC∣∣=21+3. D'autre part arg(zB−zCzA−zC)=arg(21+3) . Autrement dit ⎩⎨⎧cos(θ)sin(θ)==(21+3)(21+3)(21+3)0 d'où {cos(θ)sin(θ)==10 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=0[2π] ou encore arg(zB−zCzA−zC)=0[2π] On a alors (CB;CA)=0[2π] Finalement, les points A,B et C sont alignés.