On considère les points A,B et C d'affixes respectifs zA=−2, zB=2+4i, zC=2−4i.
Question 1
Déterminer l'affixe du point D tel que ABDC soit un parallélogramme.
Correction
Soit zD l'affixe du point recherché. Pour que ABDC soit un parallélogramme, il faut que zAC=zBD Calculons d'une part zAC=zC−zA équivaut successivement à zAC=2−4i−(−2)
zAC=4−4i
Calculons d'autre part zBD=zD−zB équivaut successivement à zBD=zD−(2+4i)
zBD=zD−2−4i
Comme zAC=zBD alors résolvons l'équation suivante 4−4i=zD−2−4i d'où
zD=6
Il vient alors que l'affixe du point D doit être égale zD=6 afin que ABDC soit un parallélogramme.
Question 2
Montrer que ABDC est un carré
Correction
On sait maintenant que ABDC est un parallélogramme. Pour que ABDC soit un carré, montrons que deux cotés consécutifs sont égaux et qu'il y a un angle droit. Calculons dans ce cas zC−zAzB−zAet donnons son module et son argument. Comme zC−zAzB−zA=2−4i−(−2)2+4i−(−2) alors zC−zAzB−zA=i Nous pouvons en déduire deux choses. D'une part ∣∣zC−zAzB−zA∣∣=∣i∣ donc ∣zC−zA∣∣zB−zA∣=1 Ainsi ∣zB−zA∣=∣zC−zA∣ d'où
AB=CA
D'autre part arg(zC−zAzB−zA)=arg(i) ainsi arg(zC−zAzB−zA)=2π[2π] Finalement (AC;AB)=2π[2π] L'angle A^ est un angle droit. Finalement ABDC est un carré.