Complexes : médiatrices et cercles - Exercice 3

$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{3i-\left(-1+2i\right)}{4-3i-\left(-1+2i\right)}$$ équivaut successivement à :
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{3i+1-2i}{4-3i+1-2i}$$
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{1+i}{5-5i}$$
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{\left(1+i\right)\left(5+5i\right)}{\left(5-5i\right)\left(5+5i\right)}$$
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{5+5i+5i+5i^{2} }{5^{2} +5^{2} }$$
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{5+5i+5i-5}{50}$$
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{10i}{50}$$
Ainsi :

$$\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } =\frac{3i-\left(4+3i\right)}{4-3i-\left(4+3i\right)}$$ équivaut successivement à :
$$\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } =\frac{3i-4-3i}{4-3i-4-3i}$$
$$\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } =\frac{-4}{-6i}$$
d'où :

Premièrement :
$$\arg \left(\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } \right)=\arg \left(\frac{1}{5} i\right)$$ ainsi $$\arg \left(\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]$$
Finalement $$\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]$$
Le triangle $$ACD$$ est donc rectangle en $$C$$.
Deuxièmement :
$$\arg \left(\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } \right)=\arg \left(\frac{2}{3} i\right)$$ ainsi $$\arg \left(\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]$$ .
Finalement $$\left(\overrightarrow{BD} ;\overrightarrow{BC} \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]$$
Le triangle $$BCD$$ est donc rectangle en $$B$$.