Complexes : médiatrices et cercles - Exercice 2

$$\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{1-2i-3}{1+2i-3}$$
$$\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{-2-2i}{-2+2i}$$
$$\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{\left(-2-2i\right)\times \left(-2-2i\right)}{\left(-2+2i\right)\times \left(-2-2i\right)}$$
$$\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{4+4i+4i+4i^{2} }{2^{2} +2^{2} }$$
$$\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{4+4i+4i-4}{8}$$
$$\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{8i}{8}$$
Ainsi :

Comme $$\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =i$$, nous pouvons en déduire deux choses.
$$\red{\text{ D'une part :}}$$
$$\left|\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } \right|=\left|i\right|$$
donc $$\frac{\left|z_{A} -z_{C} \right|}{\left|z_{B} -z_{C} \right|} =1$$
ainsi $$\left|z_{A} -z_{C} \right|=\left|z_{B} -z_{C} \right|$$
d'où $$AC=BC$$
Le triangle $$ABC$$ est donc isocèle en $$C$$.
$$\red{\text{ D'autre part :}}$$
$$\arg \left(\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } \right)=\arg \left(i\right)$$ ainsi $$\arg \left(\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]$$
Soit $$\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]$$
Le triangle $$ABC$$ est donc rectangle en $$C$$.
Finalement, le triangle $$ABC$$ est un triangle rectangle isocèle en $$C$$.