Un célèbre jeu sur internet est conçu de façon à ce que, pour une population donnée, le temps pour finir le jeu soit de 100 minutes et l’écart-type 15 minutes. Les temps effectués sur le jeu sont distribués suivant une loi normale. Pour cette exercice, il vous faudra utiliser la loi normale centreˊe reˊduite .
Quel est le pourcentage de la population finissant le jeu avant 85 minutes.
Correction
Si une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres μ et σ notée N(μ;σ2), alors la variable aléatoire Z=σX−μ suit une loi normale centrée réduite N(0;1)
On pose alors Z=15X−100 suit la loi normale centrée réduite N(0;1). Il vient alors que : P(X≤85)=P(X−100≤85−100) P(15X−100≤1585−100) P(Z≤15−15) P(Z≤−1) Avec une calculatrice Texas, pour P(Z≤−1) on tape NormalFrep(valeur min, valeur max) C'est-à-dire ici NormalFrep(−1099, −1) puis on tape sur Enter et on obtient :
P(Z≤−1)≈0,158
Il n'est pas nécessaire d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite N(0;1)
Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(Z≤−1) on tape :
Ainsi, 15,8% de la population termine le jeu en moins de 85 minutes.
Question 2
Quel est le pourcentage de la population finissant le jeu entre 100 minutes et 115 minutes?
Correction
Si une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres μ et σ notée N(μ;σ2), alors la variable aléatoire Z=σX−μ suit une loi normale centrée réduite N(0;1)
On pose alors Z=15X−100 suit la loi normale centrée réduite N(0;1). Il vient alors que : P(100≤X≤115)=P(15100−100≤15X−100≤15115−100) P(100≤X≤115)=P(0≤Z≤1) Avec une calculatrice Texas, pour P(0≤Z≤1) on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type) C'est-à-dire ici NormalFrep(0, 1) puis on tape sur Enter et on obtient :
P(0≤Z≤1)≈0,341
Il n'est pas nécessaire d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite N(0;1)
Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(0≤Z≤1) on tape :
Ainsi, 34,1% de la population termine le jeu entre 100 minutes et 115 minutes.
Question 3
Une association appelée LEAGUE SUPER regroupe les personnes dont le temps pour finir le jeu fait partie des 2% les moins élevés. Quel temps faut-il avoir pour adhérer à cette association? Arrondir à la minute inférieur.
Correction
Soit t le temps recherché, nous devons donc résoudre l'équation : P(X≤t)=0,02
Si une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres μ et σ notée N(μ;σ2), alors la variable aléatoire Z=σX−μ suit une loi normale centrée réduite N(0;1)
On pose alors Z=15X−100 suit la loi normale centrée réduite N(0;1). Il vient alors que : P(15X−100≤15t−100)=0,02 P(Z≤15t−100)=0,02
Avec une calculatrice Texas, pour P(Z≤15t−100)=0,02 on tape InvNorm(valeur donnée, espérance, écart type) C'est-à-dire ici InvNorm(0.02) puis on tape sur Enter et on obtient : 15t−100≈−2,053 Ainsi :
t≈69,205
Il n'est pas nécessaire d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite N(0;1)
Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(Z≤15t−100)=0,02 on tape :
Normal inverse Data : Variable Tail : Left car c'est ≤ Area : 0.02 σ : 1 Ecart type μ : 0 Espérance
puis on tape sur EXE et on obtient : 15t−100≈−2,053 Ainsi :
t≈69,205
Pour faire partie de l'association appelée LEAGUE SUPER les personnes doivent avoir un temps inférieur à 69 minutes.
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