Les lois continues

Loi uniforme - Exercice 2

7 min
10
Un match de basket a une durée au plus égal à 22 heures.
On suppose que la durée exacte du match est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0;2]\left[0;2\right]
Question 1

Quelle est la probabilité qu'un match dure entre 11h3030 et 11h4545 ?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors la fonction de densité de probabilité de la loi uniforme est donnée par : f(x)=1b−af\left(x\right)=\frac{1}{b-a}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [0;2]\left[0;2\right] est f(x)=12−0=12f\left(x\right)=\frac{1}{2-0} =\frac{1}{2}
On ne va pas chercher la probabilité P(1,30≤X≤1,45)P\left(1,30\le X\le 1,45\right), cette écriture ici n'a pas de sens.

On va indiquer 11h3030 et 11h4545 en heures.
Ainsi : 11h et 3030 minutes correspond à 1,51,5h et 11h et 4545 minutes correspond à 1,751,75h.
On va donc calculer :
P(1,5≤X≤1,75)=∫1,51,75f(x)dxP\left(1,5\le X\le 1,75\right)=\int _{1,5}^{1,75}f\left(x\right)dx équivaut successivement à
P(1,5≤X≤1,75)=∫1,51,7512dxP\left(1,5\le X\le 1,75\right)=\int _{1,5}^{1,75}\frac{1}{2} dx
P(1,5≤X≤1,75)=[12x]1,51,75P\left(1,5\le X\le 1,75\right)=\left[\frac{1}{2} x\right]_{1,5}^{1,75}
P(1,5≤X≤1,75)=(12×1,75)−(12×1,5)P\left(1,5\le X\le 1,75\right)=\left(\frac{1}{2} \times 1,75\right)-\left(\frac{1}{2} \times 1,5\right)
Ainsi :
P(1,5≤X≤1,75)=18P\left(1,5\le X\le 1,75\right)=\frac{1}{8}

La probabilité qu'un match dure entre 11h3030 et 11h4545 est de 18\frac{1}{8} .
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a} .
Cette formule permet de calculer rapidement les probabilités issues d'une loi uniforme. Voyez avec votre prof s'il la valide en DS. Vous aurez ainsi , ci-dessus le corrigé détaillé de la question et ci-dessous le corrigé sans passer par le calcul de l'intégrale. A vous de choisir :)
On a :
P(1,5≤X≤1,75)=1,75−1,52−0P\left(1,5\le X\le 1,75\right)=\frac{1,75-1,5}{2-0}
P(1,5≤X≤1,75)=18P\left(1,5\le X\le 1,75\right)=\frac{1}{8}
Question 2

Quel est le temps moyen d'un match.

Correction

Si XX suit la loi uniforme sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors son espérance mathématique vaut E(X)=a+b2E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}
Il en résulte que :
E(X)=2+02=1E\left(X\right)=\frac{2+0}{2} =1