Loi normale N(μ;σ2)N\left(\mu ;\sigma ^{2} \right) - Exercice 5

12 min
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Question 1
Le professeur de mathématiques indique à ses étudiants que les notes de leur dernier DS suivent une loi normale noté XX en sachant que 15,9%15,9\% des élèves ont une note supérieure ou égale à 1313 et que 76,6%76,6\% ont une note inférieure ou égale à 1010.

Il leur demande de déterminer la moyenne et l'écart type de la classe à l'entier le plus proche.

Correction

Si une variable aléatoire XX suit une loi normale de paramètres μ\mu et σ\sigma notée N(μ;σ2)N\left(\mu;\sigma ^{2} \right), alors la variable aléatoire Z=X−μσZ=\frac{X-\mu }{\sigma} suit une loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)

Avec les données du texte, on en déduit :
P(X≥13)=0,159P\left(X\ge 13\right)=0,159 et que P(X≤10)=0,766P\left(X\le 10\right)=0,766 où XX suit la loi normale μ\mu et σ\sigma que l'on doit déterminer.
On va introduire une variable aléatoire Z=X−μσZ=\frac{X-\mu }{\sigma } où ZZ suit la loi normale centrée réduite N(0,1)N\left(0,1\right)

D'une part :
P(X≥13)=0,159P\left(X\ge 13\right)=0,159 équivaut successivement à
P(X−μσ≥13−μσ)=0,159P\left(\frac{X-\mu }{\sigma } \ge \frac{13-\mu }{\sigma } \right)=0,159
P(Z≥13−μσ)=0,159P\left(Z\ge \frac{13-\mu }{\sigma } \right)=0,159

D'autre part :
P(X≤10)=0,308⇔P(X−μσ≤10−μσ)=0,308⇔P(Z≤10−μσ)=0,308P\left(X\le 10\right)=0,308\Leftrightarrow P\left(\frac{X-\mu }{\sigma } \le \frac{10-\mu }{\sigma } \right)=0,308\Leftrightarrow P\left(Z\le \frac{10-\mu }{\sigma } \right)=0,308
P(X−μσ≤10−μσ)=0,308P\left(\frac{X-\mu }{\sigma } \le \frac{10-\mu }{\sigma } \right)=0,308
P(Z≤10−μσ)=0,308P\left(Z\le \frac{10-\mu }{\sigma } \right)=0,308

Avec la calculatrice P(Z≥13−μσ)=0,159P\left(Z\ge \frac{13-\mu }{\sigma } \right)=0,159 donne :
13−μσ=0,998\frac{13-\mu }{\sigma } =0,998
Ainsi on a une première équation :
13−μ=0,998σ13-\mu =0,998\sigma

Avec la calculatrice P(Z≤10−μσ)=0,308P\left(Z\le \frac{10-\mu }{\sigma } \right)=0,308 donne :
10−μσ=−0,501\frac{10-\mu }{\sigma } =-0,501
Ainsi on a une deuxième équation :
10−μ=−0,501σ10-\mu =-0,501\sigma

On doit résoudre le système suivant :
{μ+0,998σ=13μ−0,501σ=10\left\{\begin{array}{ccccc} {\mu } & {+} & {0,998\sigma } & {=} & {13} \\ {\mu } & {-} & {0,501\sigma } & {=} & {10} \end{array}\right.
{μ=11,002σ=2,0013\left\{\begin{array}{ccc} {\mu } & {=} & {11,002} \\ {\sigma } & {=} & {2,0013} \end{array}\right.
{μ=11σ=2\left\{\begin{array}{ccc} {\mu } & {=} & {11} \\ {\sigma } & {=} & {2} \end{array}\right.

On a arrondi à l'entier le plus proche.
La moyenne de la classe est donc de 1111 et l'écart type est de 22.

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