Si une variable aléatoire
X suit une loi normale de paramètres
μ et
σ notée
N(μ;σ2), alors la variable aléatoire
Z=σX−μ suit une loi normale centrée réduite
N(0;1)Avec les données du texte, on en déduit :
P(X≥13)=0,159 et que
P(X≤10)=0,766 où
X suit la loi normale
μ et
σ que l'on doit déterminer.
On va introduire une variable aléatoire
Z=σX−μ où
Z suit la loi normale centrée réduite
N(0,1)D'une part :
P(X≥13)=0,159 équivaut successivement à
P(σX−μ≥σ13−μ)=0,159P(Z≥σ13−μ)=0,159D'autre part :
P(X≤10)=0,308⇔P(σX−μ≤σ10−μ)=0,308⇔P(Z≤σ10−μ)=0,308P(σX−μ≤σ10−μ)=0,308P(Z≤σ10−μ)=0,308Avec la calculatrice
P(Z≥σ13−μ)=0,159 donne :
σ13−μ=0,998Ainsi on a une première équation :
13−μ=0,998σ Avec la calculatrice
P(Z≤σ10−μ)=0,308 donne :
σ10−μ=−0,501Ainsi on a une deuxième équation :
10−μ=−0,501σ On doit résoudre le système suivant :
{μμ+−0,998σ0,501σ==1310{μσ==11,0022,0013{μσ==112 On a arrondi à l'entier le plus proche.
La moyenne de la classe est donc de
11 et l'écart type est de
2.