Les lois continues

Loi normale N(μ;σ2)N\left(\mu ;\sigma ^{2} \right) - Exercice 4

10 min
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On considère une variable aléatoire XX suivant la loi normale N(6;σ2)N\left(6;\sigma ^{2} \right)
Question 1

Déterminer la valeur approchée à l'entier près de σ\sigma afin que P(X≤4)≈0,253P\left(X\le 4\right)\approx 0,253

Correction

Si une variable aléatoire XX suit une loi normale de paramètres μ\mu et σ\sigma notée N(μ;σ2)N\left(\mu;\sigma ^{2} \right), alors la variable aléatoire Z=X−μσZ=\frac{X-\mu }{\sigma} suit une loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)
On va introduire une variable aléatoire Z=X−μ2Z=\frac{X-\mu }{2} où ZZ suit la loi normale centrée réduite N(0,1)N\left(0,1\right)
P(X≤4)≈0,253P\left(X\le 4\right)\approx 0,253 s'écrit alors P(X−6σ≤4−6σ)≈0,253P\left(\frac{X-6}{\sigma } \le \frac{4-6}{\sigma } \right)\approx 0,253
Autrement dit : P(Z≤−2σ)≈0,253P\left(Z\le \frac{-2}{\sigma } \right)\approx 0,253.
Pour le calcul de P(Z≤−2σ)≈0,253P\left(Z\le \frac{-2}{\sigma } \right)\approx 0,253
Avec une calculatrice Texas, pour P(Z≤−2σ)≈0,253P\left(Z\le \frac{-2}{\sigma } \right)\approx 0,253 on tape InvNorm(valeur donnée, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici InvNorm(0, 253, 0, 1) puis on tape sur Enter et on obtient :
−2σ≈−0,665-\frac{2}{\sigma } \approx -0,665

On obtient donc une équation, on trouve alors : σ≈3,007\sigma \approx 3,007
Ainsi :
σ=3\sigma =3

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(Z≤−2σ)≈0,253P\left(Z\le \frac{-2}{\sigma } \right)\approx 0,253 on tape :
Normal inverse
Data : Variable
Tail : Left car c'est ≤\le
Area : 0,6910,691
σ\sigma : 11 Ecart type
μ\mu : 00 Espérance

puis on tape sur EXE et on obtient :
−2σ≈−0,665-\frac{2}{\sigma } \approx -0,665

On obtient donc une équation, on trouve alors σ≈3,007\sigma \approx 3,007
Ainsi :
σ=3\sigma =3