Loi normale N(μ;σ2)N\left(\mu ;\sigma ^{2} \right) - Exercice 3

10 min
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On considère une variable aléatoire XX suivant la loi normale N(μ;2)N\left(\mu ;2\right)
Question 1

Déterminer la valeur approchée à l'entier près de μ\mu afin que P(X≤6)≈0,691P\left(X\le 6\right)\approx 0,691

Correction

Si une variable aléatoire XX suit une loi normale de paramètres μ\mu et σ\sigma notée N(μ;σ2)N\left(\mu;\sigma ^{2} \right), alors la variable aléatoire Z=X−μσZ=\frac{X-\mu }{\sigma} suit une loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)
On va introduire une variable aléatoire Z=X−μ2Z=\frac{X-\mu }{2} où ZZ suit la loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)
P(X≤6)≈0,691P\left(X\le 6\right)\approx 0,691 s'écrit alors P(X−μ2≤6−μ2)≈0,691P\left(\frac{X-\mu }{2} \le \frac{6-\mu }{2} \right)\approx 0,691
Autrement dit : P(Z≤6−μ2)≈0,691P\left(Z\le \frac{6-\mu }{2} \right)\approx 0,691.
Pour le calcul de P(Z≤6−μ2)≈0,691P\left(Z\le \frac{6-\mu }{2} \right)\approx 0,691

Avec une calculatrice Texas, pour P(Z≤6−μ2)≈0,691P\left(Z\le \frac{6-\mu }{2} \right)\approx 0,691 on tape InvNorm(valeur donnée, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici InvNorm(0, 691, 0, 1) on tape sur Enter et on obtient :
6−μ2≈0,499\frac{6-\mu }{2} \approx 0,499

On obtient donc une équation, on trouve alors : μ≈5,002\mu \approx 5,002
Ainsi :
μ=5\mu =5

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(Z≤6−μ2)≈0,691P\left(Z\le \frac{6-\mu }{2} \right)\approx 0,691 on tape :
Normal inverse
Data : Variable
Tail : Left car c'est ≤\le
Area : 0,6910,691
σ\sigma : 11 Ecart type
μ\mu : 00 Espérance

puis on tape sur EXE et on obtient :
6−μ2≈0,499\frac{6-\mu }{2} \approx 0,499

On obtient donc une équation, on trouve alors : μ≈5,002\mu \approx 5,002. Ainsi
μ=5\mu =5

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