Loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right) - Exercice 2

10 min
20
Une variable aléatoire XX suit la loi normale centrée réduite que l'on note N(0;1)\mathcal{N}\left(0;1\right)
On donne l'information suivante P(X≤23)≈0,748P\left(X\le \frac{2}{3} \right)\approx 0,748
Sans la calculatrice, déterminer la valeur des probabilités suivantes
Question 1

P(X≥23)P\left(X\ge \frac{2}{3} \right)

Correction
P(X≥23)=1−P(X≤23)P\left(X\ge \frac{2}{3} \right)=1-P\left(X\le \frac{2}{3} \right) équivaut successivement à
P(X≥23)≈1−0,748P\left(X\ge \frac{2}{3} \right)\approx 1-0,748
P(X≥23)≈0,252P\left(X\ge \frac{2}{3} \right)\approx 0,252
Question 2

P(0≤X≤23)P\left(0\le X\le \frac{2}{3} \right)

Correction
  • D'après le cours, soit XX une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0;1)\mathcal{N}\left(0;1\right) on a : P(X≤0)=P(X≥0)=12P\left(X\le 0\right)=P\left(X\ge 0\right) = \frac{1}{2}
P(0≤X≤23)=P(X≤23)−P(X≥0)P\left(0\le X\le \frac{2}{3} \right)=P\left(X\le \frac{2}{3} \right)-P\left(X\ge 0\right) équivaut successivement à
P(0≤X≤23)=P(X≤23)−12P\left(0\le X\le \frac{2}{3} \right)=P\left(X\le \frac{2}{3} \right)-\frac{1}{2}
P(0≤X≤23)≈0,748−12P\left(0\le X\le \frac{2}{3} \right)\approx 0,748-\frac{1}{2}
P(0≤X≤23)≈0,248P\left(0\le X\le \frac{2}{3} \right)\approx 0,248
Question 3

P(−23≤X≤0)P\left(-\frac{2}{3} \le X\le 0\right)

Correction
  • L’espérance μ\mu de la loi normale est un paramètre de position : la courbe représentative de la fonction de densité admet pour axe de symétrie la droite d’équation x=μx = \mu .
  • Si XX une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(μ;σ2)\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^{2}\right) on a : P(−a≤X≤μ)=P(μ≤X≤a)P\left(-a \le X\le \mu\right)=P\left(\mu\le X\le a \right)
P(−23≤X≤0)=P(0≤X≤23)≈0,248P\left(-\frac{2}{3} \le X\le 0\right)=P\left(0\le X\le \frac{2}{3} \right)\approx 0,248
P(−23≤X≤0)≈0,248P\left(-\frac{2}{3} \le X\le 0\right)\approx 0,248
Question 4

P(X≤−23)P\left(X\le -\frac{2}{3} \right)

Correction
P(X≤−23)=P(X≤0)−P(−23≤X≤0)P\left(X\le -\frac{2}{3} \right)=P\left(X\le 0\right) -P\left(-\frac{2}{3} \le X\le 0\right) équivaut successivement à
P(X≤−23)=12−P(−23≤X≤0)P\left(X\le -\frac{2}{3} \right)=\frac{1}{2} -P\left(-\frac{2}{3} \le X\le 0\right)
P(X≤−23)≈12−0,248P\left(X\le -\frac{2}{3} \right)\approx \frac{1}{2} -0,248
P(X≤−23)≈0,252P\left(X\le -\frac{2}{3} \right)\approx 0,252

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.