Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

Soit : $$G\left(t\right)=\left(-t-5\right)e^{-0,2t}$$
On reconnaît la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(t\right)=-t-5$$ et $$v\left(t\right)=e^{-0,2t}$$.
Ainsi : $$u'\left(t\right)=-1$$ et $$v'\left(t\right)=-0,2e^{-0,2t}$$.
Il vient alors que :
$$G'\left(t\right)=-1\times e^{-0,2t} +\left(-t-5\right)\times \left(-0,2e^{-0,2t} \right)$$
$$G'\left(t\right)=e^{-0,2t} \left(-1+\left(-t-5\right)\times \left(-0,2\right)\right)$$
$$G'\left(t\right)=e^{-0,2t} \left(-1+\left(-t\right)\times \left(-0,2\right)+\left(-5\right)\times \left(-0,2\right)\right)$$
$$G'\left(t\right)=e^{-0,2t} \left(-1+0,2t+1\right)$$
$$G'\left(t\right)=0,2te^{-0,2t}$$

La fonction $$G$$ est donc bien une primitive de $$g$$ sur $$\left[0;+\infty\right[$$.

En appliquant la définition de l’espérance, rappelée dans l’énoncé, on va commencer par calculer l’intégrale de $$g$$ entre $$0$$ et $$x$$.
Il vient alors que :
$$\int _{0}^{x}0,2te^{-0,2t} dt= \int _{0}^{x}g\left(t\right)dt$$
$$\int _{0}^{x}0,2te^{-0,2t} dt= \left[G\left(t\right)\right]_{0}^{x}$$
$$\int _{0}^{x}0,2te^{-0,2t} dt= G\left(x\right)-G\left(0\right)$$
$$\int _{0}^{x}0,2te^{-0,2t} dt= \left(-x-5\right)e^{-0,2x} -\left(-0-5\right)e^{-0,2\times 0}$$
$$\int _{0}^{x}0,2te^{-0,2t} dt= \left(-x-5\right)e^{-0,2x} -\left(-5\right)e^{0}$$
Ainsi :
Il en résulte donc que :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \int _{0}^{x}0,2te^{-0,2t} dt =\lim\limits_{x\to +\infty }-x e^{-0,2x} -5e^{-0,2x} +5$$
Nous savons que $$\lim\limits_{x\to +\infty }xe^{-0,2x}=0$$. Il nous faut donc calculer maintenant $$\lim\limits_{x\to +\infty }-5e^{-0,2x}=0$$.
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty } -0,2x=-\infty$$.
On pose $$X=-0,2x$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to -\infty } -5e^{X} =0$$.
Par composition :
Finalement :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -x e^{-0,2x} } & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -5e^{-0,2x} +5} & {=} & {5} \end{array}\right\}$$ par somme

On pose alors $$Z=\frac{T-40}{\sigma}$$ suit la loi normale centrée réduite $$N\left(0;1\right)$$.
Il vient alors que :
$$P\left(T\le 10\right)=P\left(T-40\le 10-40\right)$$
$$P\left(T\le 10\right)=P\left(\frac{T-40}{\sigma} \le \frac{10-40}{\sigma} \right)$$
$$P\left(T\le 10\right)=P\left(Z\le \frac{-30}{\sigma} \right)$$
Or : $$P\left(T\le 10\right)=0,067$$ ainsi $$P\left(Z\le \frac{-30}{\sigma} \right)=0,067$$
Avec une calculatrice Texas, pour $$P\left(Z\le \frac{-30}{\sigma} \right)=0,067$$ on tape InvNorm(valeur donnée, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici InvNorm($$0.067$$) puis on tape sur Enter et on obtient :
$$\frac{-30}{\sigma}\approx -1,4985$$
Ainsi :
Il n'est pas nécessaire d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite $$N\left(0;1\right)$$
Un arrondi à la seconde près est de $$20$$ minutes et $$1$$ seconde. En effet, $$0,0198\times60\approx1,2$$ seconde.

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour $$P\left(Z\le \frac{-30}{\sigma} \right)=0,067$$ on tape :

puis on tape sur EXE et on obtient :
$$\frac{-30}{\sigma}\approx -1,4985$$
Ainsi :
Un arrondi à la seconde près est de $$20$$ minutes et $$1$$ seconde. En effet, $$0,0198\times60\approx1,2$$ seconde.

Puisque le temps est exprimé en minutes, une heure correspond à $$60$$ minutes, et donc la probabilité cherchée est obtenue à la calculatrice :
Il nous faut donc $$P\left(X\ge 60\right)$$.
Avec une calculatrice Texas, pour $$P\left(X\ge 60\right)$$ on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep($$60$$, $$10^{99}$$, $$40$$ ,$$20$$) puis on tape sur Enter et on obtient :

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour $$P\left(X\ge 60\right)$$ on tape :

puis on tape sur EXE et on obtient :

Puisque la question est posée en terme de proportion, on va supposer que la modélisation est fiable et que les probabilités sont assimilables à des proportions, et donc qu’environ $$15,9\%$$ des clients passent plus d’une heure dans le supermarché.

Comme cette variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre $$0,2$$ minute. Cela signifie que $$\lambda=0,2$$.
Il vient alors que :

On a :
$$P\left(X\ge 10\right)=1-e^{-0,2\times10}$$

A $$10^{-3}$$, la probabilité qu’un client attende plus de dix minutes aux bornes automatiques est donc de $$0,135$$.

Nous ne connaissons pas la valeur de la probabilité de l'évènement $$B$$. Nous allons poser, un réel $$p$$ tel que $$P\left(B\right)=p$$. Nous allons dresser un tableau pondéré traduisant la situation de l'énoncé. Il vient alors que :
$$B$$ et $$\overline{B}$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
$$P\left(S\right)=P\left(B\cap S\right)+P\left(\overline{B}\cap S\right)$$
$$P\left(S\right)=P\left(B\right)\times P_{B} \left(S\right)+P\left(\overline{B}\right)\times P_{\overline{B}} \left(S\right)$$
Soit :
$$P\left(S\right)=p\times 0,86 +\left(1-p\right)\times 0,63$$
$$P\left(S\right)=0,86p +0,63-0,63p$$
Ainsi :
Pour que plus de $$75\%$$ des clients attendent moins de dix minutes, on doit avoir :
$$P\left(S\right)\ge 0,75\Leftrightarrow 0,63+0,23p\ge 0,75$$
$$P\left(S\right)\ge 0,75\Leftrightarrow 0,23p\ge 0,75-0,63$$
$$P\left(S\right)\ge 0,75\Leftrightarrow 0,23p\ge 0,12$$

Or $$\frac{0,12}{0,23}\approx0,522$$.
La proportion minimale de clients devant choisir les caisses automatiques, si on veut que plus de $$75\%$$ des clients attendent moins de dix minutes est donc de $$52,2\%$$ .