Exercice 5 - Exercice 1

1 min
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Les parties AA et BB et CC peuvent être traitées indépendamment.
Question 1
Partie A : Etude de la durée de vie d'un appareil électroménager
Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d'un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire XX suivant une loi normale N(μ;σ2)N\left(\mu ;\sigma ^{2} \right) de moyenne μ=84\mu =84 et d'écart-type σ\sigma .
De plus, on a P(X≤64)=0,16P\left(X\le 64\right)=0,16.
La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de X est donnée ci-dessous :

En exploitant le graphique, déterminer P(64≤X≤104)P\left(64\le X\le 104\right).

Correction
Comme P(X≤64)=0,16P\left(X\le 64\right)=0,16 alors par symétrie on a P(X≥104)=0,16P\left(X\ge 104\right)=0,16.
Ainsi P(64≤X≤104)=1−P(X≤64)−P(X≥104)P\left(64\le X\le 104\right)=1-P\left(X\le 64\right)-P\left(X\ge 104\right).
Il vient alors que :
P(64≤X≤104)=1−0,16−0,16P\left(64\le X\le 104\right)=1-0,16-0,16
P(64≤X≤104)=0,68P\left(64\le X\le 104\right)=0,68
Question 2

Quelle valeur approchée entière de σ\sigma peut-on proposer ?

Correction
Si XX suit une loi normale de paramètre μ\mu et σ\sigma alors : P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0,683P\left(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma \right)=0,683
Comme P(64≤X≤104)=0,68P\left(64\le X\le 104\right)=0,68 et que μ=84\mu =84 alors : P(64≤X≤104)=P(84−20≤X≤84+20)P\left(64\le X\le 104\right)=P\left(84-20\le X\le 84+20\right)
Donc
σ≈20\sigma \approx 20

Question 3
On note ZZ la variable aléatoire définie par :
Z=X−84σZ=\frac{X-84}{\sigma }

Quelle est la loi de probabilité suivie par ZZ ?

Correction

Si une variable aléatoire XX suit une loi normale de paramètres μ\mu et σ\sigma notée N(μ;σ2)N\left(\mu;\sigma ^{2} \right), alors la variable aléatoire Z=X−μσZ=\frac{X-\mu }{\sigma} suit une loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)
Question 4

Justifier P(X≤64)=P(Z≤−20σ)P\left(X\le 64\right)=P\left(Z\le \frac{-20}{\sigma } \right).

Correction
On peut écrire que :
P(X≤64)=P(X−84≤64−84)P\left(X\le 64\right)=P\left(X-84\le 64-84\right)
P(X≤64)=P(X−84≤−20)P\left(X\le 64\right)=P\left(X-84\le -20\right)
P(X≤64)=P(X−84σ≤−20σ)P\left(X\le 64\right)=P\left(\frac{X-84}{\sigma } \le \frac{-20}{\sigma } \right) or Z=X−84σZ=\frac{X-84}{\sigma } suit la loi normale centrée réduite.
Il vient alors que :
P(X≤64)=P(Z≤−20σ)P\left(X\le 64\right)=P\left(Z\le \frac{-20}{\sigma } \right)
Question 5

En déduire la valeur de σ\sigma arrondie à 10−310^{-3} .

Correction
Comme P(X≤64)=0,16P\left(X\le 64\right)=0,16 alors P(Z≤−20σ)=0,16P\left(Z\le \frac{-20}{\sigma } \right)=0,16.
On sait que Z=X−84σZ=\frac{X-84}{\sigma } suit la loi normale centrée réduite.
Pour le calcul de P(Z≤−20σ)=0,16P\left(Z\le \frac{-20}{\sigma } \right)=0,16
Avec une Texas, on tape pour P(Z≤−20σ)=0,16P\left(Z\le \frac{-20}{\sigma } \right)=0,16 InvNorm(valeur donné,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici InvNorm(0,16}) puis taper sur enter et vous obtiendrez
σ≈20,111\sigma \approx 20,111
à 10−310^{-3} près.
Pas besoin d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)
Avec une Casio Graph 35+, on tape pour P(Z≤−20σ)=0,16P\left(Z\le \frac{-20}{\sigma } \right)=0,16
Normal inverse
Data : Variable
Tail : Left car c'est ≤\le
Area : 0,160,16
σ\sigma : 11 Ecart type
μ\mu : 00 Espérance

puis taper sur EXE et vous obtiendrez
σ≈20,111\sigma \approx 20,111
à 10−310^{-3} près.
Dans cette question, on considère que σ=20,1\sigma =20,1.
Les probabilités demandées seront arrondies à 10−310^{-3}
Question 6

Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 22 et 55 ans.

Correction
Attention, il faut convertir les années en mois.
On a donc P(24≤X≤60)P\left(24\le X\le 60\right)
Pour le calcul de P(24≤X≤60)P\left(24\le X\le 60\right)
Avec une Texas, on tape pour P(24≤X≤60)P\left(24\le X\le 60\right) NormalFrep(valeur min,valeur max ,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici NormalFrep(2424,6060 ,8484, 20.120.1) puis taper sur enter et vous obtiendrez
P(24≤X≤60)≈0,115P\left(24\le X\le 60\right)\approx 0,115

Avec une Casio Graph 35+, on tape pour P(24≤X≤60)P\left(24\le X\le 60\right)
Normal C.D
Lower : 2424 Valeur Minimale
Upper : 6060 Valeur Maximale
σ\sigma : 8484 Ecart type
μ\mu : 20,120,1 Espérance

puis taper sur EXE et vous obtiendrez
P(24≤X≤60)≈0,115P\left(24\le X\le 60\right)\approx 0,115
Question 7

Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 1010 ans.

Correction
P(X≥120)P\left(X\ge 120\right)
Pour le calcul de P(X≥120)P\left(X\ge 120\right)
Avec une Texas, on tape pour P(X≥120)P\left(X\ge 120\right) NormalFrep(valeur min,valeur max ,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici NormalFrep(120120, 109910^{99} ,8484, 20.120.1 ) puis taper sur enter et vous obtiendrez
P(X≥120)≈0,037P\left(X\ge 120\right)\approx 0,037

Avec une Casio Graph 35+, on tape pour P(X≥120)P\left(X\ge 120\right)
Normal C.D
Lower : 120120 Valeur Minimale
Upper : 109910^{99} Valeur Maximale
σ\sigma : 8484 Ecart type
μ\mu : 20,120,1 Espérance

puis taper sur EXE et vous obtiendrez
P(X≥120)≈0,037P\left(X\ge 120\right)\approx 0,037
On peut aussi calculer P(X≥120)P\left(X\ge 120\right) avec cette méthode.

P(X≥120)=12−P(84≤X≤120)P\left(X\ge 120\right)=\frac{1}{2} -P\left(84\le X\le 120\right) puis
P(X≥120)≈0,037P\left(X\ge 120\right)\approx 0,037
Question 8
Partie B : Etude de l'extension de garantie d'El'Ectro
Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.
L'entreprise El'Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 33 ans supplémentaires.
Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l'extension de garantie montrent que 11,511,5% d'entre eux font jouer l'extension de garantie.
On choisit au hasard 1212 clients parmi ceux ayant pris l'extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).

Quelle est la probabilité qu'exactement 33 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ?
Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée.
Arrondir à 10−310^{-3} .

Correction
Si GG est la variable aléatoire donnant le nombre de clients ayant pris l'extension de garantie, puisque les tirages sont indépendants et de même probabilité 0,1150,115. GG suit une loi binomiale B(12,0,115)B\left(12,0,115\right).
La probabilité qu'exactement 33 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie est égale à :
P(G=3)=(123)×(0,115)3×(1−0,115)12−9.P\left(G=3\right)=\left(\begin{array}{c} {12} \\ {3} \end{array}\right)\times \left(0,115\right)^{3} \times \left(1-0,115\right)^{12-9} .
Avec la calculatrice, on obtient :
P(G=3)=0,111P\left(G=3\right)=0,111
à 10−310^{-3} près.
Question 9

Quelle est la probabilité qu'au moins 66 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ?
Arrondir à 10−310^{-3} .

Correction
P(G≥6)=1−P(G≤5).P\left(G\ge 6\right)=1-P\left(G\le 5\right).
A l'aide de la calculatrice, on obtient P(G≥6)≈0,001P\left(G\ge 6\right)\approx 0,001 au millième près.
Question 10
L'offre d'extension de garantie est la suivante : pour 6565 euros supplémentaires, El'Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année.
Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable.
On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l'extension de garantie, et on note YY la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l'entreprise El'Ectro, grâce à l'extension de garantie.

Justifier que YY prend les valeurs 6565 et −334-334 puis donner la loi de probabilité de YY .

Correction
Si le client utilise l'extension le gain algébrique est 65−399=−33465-399 = -334
Si le client n'utilise pas l'extension le gain algébrique est 6565
La variable aléatoire YY prend donc deux valeurs 6565 et −334-334 avec les probabilités respectives 0,8850,885 et 0,1150,115.
Question 11

Cette offre d'extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l'entreprise ?
Justifier.

Correction
On a E(Y)=65×0,885+(−334)×0,115≈19,12E\left(Y\right)=65\times 0,885+\left(-334\right)\times 0,115\approx 19,12 d'euros (au centime près).
L'offre est donc avantageuse pour l'entreprise puisque celle gagne presque 2020 euros par client.
Question 12
Partie C
Extrait du sujet du 22 juin 2015 Antilles-Guyane
On considère une variable aléatoire XX qui suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda avec λ>0\lambda >0.
On rappelle que, pour tout réel aa strictement positif P(X≤a)=∫0aλe−λtdtP\left(X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda t} dt .
On se propose de calculer l'espérance mathématique de XX, notée E(X)E\left(X\right), et définie par
E(X)=lim⁡x→+∞∫0xλte−λtdtE\left(X\right)=\lim\limits_{x\to +\infty } \int _{0}^{x}\lambda te^{-\lambda t} dt
On note RR l'ensemble des nombres réels.

Montrer que la fonction FF définie sur R\mathbb{R} par F(t)=(−t−1λ)e−λtF\left(t\right)=\left(-t-\frac{1}{\lambda } \right)e^{-\lambda t} est une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} parf(t)=λte−λtf\left(t\right)=\lambda te^{-\lambda t} .

Correction
FF est dérivable sur R\mathbb{R}.
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Calculons la dérivée de FF.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'avec u(t)=−t−1λu\left(t\right)=-t-\frac{1}{\lambda } et v(t)=e−λtv\left(t\right)=e^{-\lambda t} .
Ainsi u′(t)=−1u'\left(t\right)=-1 et v′(t)=−λe−λtv'\left(t\right)=-\lambda e^{-\lambda t} .
Il vient alors que :
F′(t)=−e−λt+(−t−1λ)(−λe−λt)F'\left(t\right)=-e^{-\lambda t} +\left(-t-\frac{1}{\lambda } \right)\left(-\lambda e^{-\lambda t} \right)
F′(t)=−e−λt+λte−λt+1λ×λe−λtF'\left(t\right)=-e^{-\lambda t} +\lambda te^{-\lambda t} +\frac{1}{\lambda } \times \lambda e^{-\lambda t}
F′(t)=λte−λtF'\left(t\right)=\lambda te^{-\lambda t}
F′(t)=f(t)F'\left(t\right)=f\left(t\right)

Donc la fonction FF définie sur R\mathbb{R} par F(t)=(−t−1λ)e−λtF\left(t\right)=\left(-t-\frac{1}{\lambda } \right)e^{-\lambda t} est une primitive sur RR de la fonction ff définie sur RR parf(t)=λte−λtf\left(t\right)=\lambda te^{-\lambda t} .
Question 13

Soit xx un nombre réel strictement positif.
Vérifier que : ∫0xλte−λtdt=1λ(−λxe−λx−e−λx+1)\int _{0}^{x}\lambda te^{-\lambda t} dt =\frac{1}{\lambda } \left(-\lambda xe^{-\lambda x} -e^{-\lambda x} +1\right)

Correction
∫0xλte−λtdt=[(−t−1λ)e−λt]0x\int _{0}^{x}\lambda te^{-\lambda t} dt =\left[\left(-t-\frac{1}{\lambda } \right)e^{-\lambda t} \right]_{0}^{x}
∫0xλte−λtdt=(−x−1λ)e−λx−(−0−1λ)e−λ×0\int _{0}^{x}\lambda te^{-\lambda t} dt =\left(-x-\frac{1}{\lambda } \right)e^{-\lambda x} -\left(-0-\frac{1}{\lambda } \right)e^{-\lambda \times 0}
∫0xλte−λtdt=(−x−1λ)e−λx+1λ\int _{0}^{x}\lambda te^{-\lambda t} dt =\left(-x-\frac{1}{\lambda } \right)e^{-\lambda x} +\frac{1}{\lambda }
On factorise par 1λ\frac{1}{\lambda } .
Il vient alors :
∫0xλte−λtdt=1λ(−λxe−λx−e−λx+1)\int _{0}^{x}\lambda te^{-\lambda t} dt =\frac{1}{\lambda } \left(-\lambda xe^{-\lambda x} -e^{-\lambda x} +1\right)
Question 14

En déduire que E(X)=1λE\left(X\right)=\frac{1}{\lambda } .

Correction
On sait que :
E(X)=lim⁡x→+∞∫0xλte−λtdtE\left(X\right)=\lim\limits_{x\to +\infty } \int _{0}^{x}\lambda te^{-\lambda t} dt
E(X)=lim⁡x→+∞1λ(−λxe−λx−e−λx+1)E\left(X\right)=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\lambda } \left(-\lambda xe^{-\lambda x} -e^{-\lambda x} +1\right)
Or lim⁡x→+∞e−λx=0\lim\limits_{x\to +\infty } e^{-\lambda x} =0 et lim⁡x→+∞−λxe−λx=0\lim\limits_{x\to +\infty } -\lambda xe^{-\lambda x} =0.
Ainsi : lim⁡x→+∞−λxe−λx−e−λx+1=1\lim\limits_{x\to +\infty } -\lambda xe^{-\lambda x} -e^{-\lambda x} +1=1
Finalement :
E(X)=1λE\left(X\right)=\frac{1}{\lambda }

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