Exercice 3 - Exercice 1

Le service statistique indique que $$P\left(D\ge 48\right)=0,7977$$
Or $$P\left(D\ge 48\right)=1-P\left(D\le 48\right)$$
Ainsi $$P(D\le 48)=1-0,7977=0,2023$$
D'après le cours, si $$D$$ suit la loi normale de paramètres $$\mu$$ et $$\theta$$, alors la variable aléatoire $$Z=\frac{D-\mu }{\theta }$$ suit la loi normale centrée réduite $$N\left(0,1\right)$$
$$P\left(D\le 48\right)=0,2023.$$ s'écrit alors $$P\left(\frac{D-50}{\theta } \le \frac{48-50}{\theta } \right)=0,2023$$
Autrement dit $$P\left(Z\le \frac{-2}{\theta } \right)=0,2023$$.
Pour le calcul de $$P\left(Z\le \frac{-2}{\theta } \right)=0,2023$$
Avec une Texas , on tape pour $$P\left(Z\le \frac{-2}{\theta } \right)=0,2023$$
InvNorm(valeur donné,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici InvNorm( $$0.2023$$ , $$0$$, $$1$$ ) puis taper sur enter et vous obtiendrez
On obtient donc une équation, on trouve alors $$\theta \approx 2,3997$$
Avec une Casio Graph 35+, on tape pour $$P\left(Z\le \frac{-2}{\theta } \right)=0,2023$$

puis taper sur EXE et vous obtiendrez
On obtient donc une équation, on trouve alors $$\theta \approx 2,3997$$.

La probabilité que la durée de fonctionnement du module mécanique soit comprise entre $$45$$ et $$52$$ mois, est $$P\left(45\le D\le 52\right)$$.
On trouve à la calculatrice $$0,7791$$ comme valeur arrondie à $$10^{-4}$$de la probabilité cherchée.

La probabilité que le module mécanique d'un climatiseur ayant fonctionné depuis 48 mois fonctionne encore au moins 6 mois est $$P_{\left(D\ge 48\right)} \left(D\ge 48+6\right)$$ :
$$P_{\left(D\ge 48\right)} \left(D\ge 54\right)=\frac{P\left(\left(D\ge 54\right)\cap \left(D\ge 48\right)\right)}{P(D\ge 48)}$$
$$P\left(\left(D\ge 54\right)\cap \left(D\ge 48\right)\right)=P(D\ge 54)\approx 0,04779$$ et $$P\left(D\ge 48\right)\approx 0,79767$$.

La valeur approchée à $$10^{-4}$$ de la probabilité que le module mécanique d'un climatiseur ayant fonctionné depuis $$48$$ mois fonctionne encore au moins $$6$$ mois est $$0,0599$$.

Le service statistique indique que $$P\left(0\le T\le 24\right)=0,03$$ donc $$\lambda$$ vérifie l'égalité $$\int _{0}^{24}\lambda e^{-\lambda t} dt =0,03$$ ou encore $$1-e^{24\lambda } =0,03$$
On résout cette équation d'inconnue $$\lambda$$.
$$1-e^{24\lambda } =0,03$$ équivaut successivement à
$$e^{-24\lambda } =0,97$$
$$\ln \left(e^{-24\lambda } \right)=\ln \left(0,97\right)$$
$$-24\lambda =\ln \left(0,97\right)$$
$$\lambda =\frac{\ln (0,97)}{-24}$$
La valeur de $$\lambda$$ telle que $$P\left(0\le T\le 24\right)=0,03$$ est

La valeur approchée à $$10^{-4}$$ de la probabilité que la durée de fonctionnement du module électronique soit comprise entre $$24$$ et $$48$$ mois est $$0,0291$$.

On a :
$$P_{T\ge t} \left(T\ge t+h\right)=\frac{P\left(\left(T\ge t+h\right)\cap \left(T\ge t\right)\right)}{P\left(T\ge t\right)}$$ équivaut successivement à
$$P_{T\ge t} \left(T\ge t+h\right)=\frac{P\left(T\ge t+h\right)}{P\left(T\ge t\right)}$$
$$P_{T\ge t} \left(T\ge t+h\right)=\frac{e^{-\left(t+h\right)\lambda } }{e^{-t\lambda } }$$
$$P_{T\ge t} \left(T\ge t+h\right)=e^{-h\lambda }$$

Donc la variable aléatoire $$T$$ est sans vieillissement.

Le module électronique du climatiseur fonctionne depuis $$36$$ mois.
La probabilité qu'il fonctionne encore les $$12$$ mois suivants est $$P_{T\ge 36} \left(T\ge 36+12\right)$$ qui est égal à $$P\left(T\ge 12\right)$$ d'après la question précédente.
Or
La valeur approchée à $$10^{-4}$$ de la probabilité que le module électronique fonctionne encore $$12$$ mois, sachant qu'il a déjà fonctionné $$36$$ mois, est égale à $$0,9849$$.

On admet que les évènements $$(D\ge 48)$$ et $$(T\ge 48)$$ sont indépendants donc
$$P\left(\left(D\ge 48\right)\cap \left(T\ge 48\right)\right)=P\left(D\ge 48\right)\times P\left(T\ge 48\right).$$
La probabilité que le climatiseur ne subisse aucune panne avant $$48$$ mois est
$$P\left(\left(D\ge 48\right)\cap \left(T\ge 48\right)\right)=P\left(D\ge 48\right)\times P\left(T\ge 48\right)=0,7977\times e^{-48\lambda } \approx 0,7505$$ où $$\lambda =0,00127$$
Donc, il y a $$75,05\%$$ de chances pour que le climatiseur ne subisse aucune panne avant $$48$$ mois.

$$P(D\ge 48)=0,7977$$ donc $$p=0,7977$$

• $$n=300\ge 30$$
• $$np={\text 239,31}\ge {\text 5}$$
• $$n\left(1-p\right)=60,69\ge 5$$

Donc on peut déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$ :
$$I=\left[p-1,96\frac{\sqrt{p\left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } p+1,96\frac{\sqrt{p\left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,7977-1,96\frac{\sqrt{0,7977\left(1-0,7977\right)} }{\sqrt{300} }0,7977+1,96\frac{\sqrt{0,7977\left(1-0,7977\right)} }{\sqrt{300} } \right]$$
$$I=\left[0,7522;0,8432\right]$$
$$0,7977-1,96\frac{\sqrt{0,7977\left(1-0,7977\right)} }{\sqrt{300} } \approx 0,7522$$.
Pour la borne inférieure, on donne une valeur approchée par défaut.
$$0,7977+1,96\frac{\sqrt{0,7977\left(1-0,7977\right)} }{\sqrt{300} } \approx 0,8432$$.
Pour la borne supérieure, on donne une valeur approchée par excès.
La fréquence observée de climatiseurs ayant encore leur module mécanique en fonctionnement après $$4$$ ans (ou $$48$$ mois) est $$f_{obs} =\frac{246}{300} =0,82$$.
Or $$f_{obs} \in I$$ donc il n'y a pas lieu de remettre en cause le résultat donné par le service statistique.