Limites - Exercice 1

On va utiliser le théorème des gendarmes.
Soit $$x\in \mathbb{R}$$, on sait que :
$$-1\le \cos \left(x\right)\le 1$$
$$-2\le 2\cos \left(x\right)\le 2$$
$$-2-4\le 2\cos \left(x\right)-4\le 2-4$$
$$-6\le 2\cos \left(x\right)-4\le -2.$$
Comme on est au voisinage de $$+\infty$$, alors $$x$$ est strictement positif.
(On ne changera pas le sens de l'inégalité quand on divisera par $$x$$).
Ainsi $$\frac{-6}{x} \le \frac{2\cos \left(x\right)-4}{x} \le \frac{-2}{x}$$

• D'une part $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-6}{x} =0$$
• D'autre part $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-2}{x} =0$$

Finalement, d'après le théorème des gendarmes :

On va utiliser le théorème des gendarmes.
Soit $$x\in \mathbb{R}$$, on sait que :
$$-1\le \sin \left(x\right)\le 1$$
$$1\ge -\sin \left(x\right)\ge -1$$
$$-1\le -\sin \left(x\right)\le 1$$
$$-3\le -3\sin \left(x\right)\le 3$$
$$-3+2\le -3\sin \left(x\right)+2\le 3+2$$
$$-1\le -3\sin \left(x\right)+2\le 5$$.
Or $$x^{2} +1>0$$.
Ainsi :
$$\frac{-1}{x^{2} +1} \le \frac{-3\sin \left(x\right)+2}{x^{2} +1} \le \frac{5}{x^{2} +1}$$ .

• D'une part $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1}{x^{2} +1} =0$$
• D'autre part $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5}{x^{2} +1} =0$$

Finalement, d'après le théorème des gendarmes

Soit $$x\in \mathbb{R}$$, on sait que :
$$-1\le \sin \left(2x\right)\le 1\Leftrightarrow -1-x\le -x+\sin \left(2x\right)\le 1-x.$$

• D'une part $$\lim\limits_{x\to -\infty } -1-x=+\infty$$
• D'autre part $$\lim\limits_{x\to -\infty } 1-x=+\infty$$.

Attention, ici on ne peut pas conclure avec le théorème des gendarmes.
En effet, les limites doivent êtres finies.
Dans ce cas, on va utiliser le théorème de comparaison.
Comme $$\lim\limits_{x\to -\infty } -1-x=+\infty$$ et que $$-1-x\le -x+\sin \left(2x\right)$$.
Alors, d'après le théorème de comparaison

Il vient alors que :
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{2\sin \left(x\right)}{5x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{2}{5} \times \left(\frac{\sin \left(x\right)}{x} \right)$$
Finalement,

Il vient alors que :
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin \left(3x\right)}{x} =\lim\limits_{x\to 0} 3\times\frac{\sin \left(3x\right)}{3x}$$.
Intéressons nous maintenant au calcul de : $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin \left(3x\right)}{3x}$$. Nous allons procéder par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to 0}3x$$. Ainsi : $$\lim\limits_{x\to 0 } 3x =0$$
On pose $$X=3x$$. Lorsque $$x$$ tend vers $$0$$ alors $$X$$ tend vers $$0$$.
Or : $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin \left(3x\right)}{3x}=\lim\limits_{X\to 0} \frac{\sin \left(X\right)}{X}=1$$
Par composition :
Finalement : $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin \left(3x\right)}{x} =\lim\limits_{x\to 0} 3\times\frac{\sin \left(3x\right)}{3x}=3\times1=3$$

$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\cos \left(x\right)-1}{3x} =\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{3} \times \frac{\cos \left(x\right)-1}{x}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$, on sait que :
$$-1\le \cos \left(x\right)\le 1\Leftrightarrow -1+x^{2}\le x^{2}+\cos\left(x\right)\le 1+x^{2}.$$

• D'une part $$\lim\limits_{x\to +\infty } -1+x^{2}=+\infty$$
• D'autre part $$\lim\limits_{x\to +\infty } 1+x^{2}=+\infty$$.

Attention, ici on ne peut pas conclure avec le théorème des gendarmes.
En effet, les limites doivent êtres finies.
Dans ce cas, on va utiliser le théorème de comparaison.
Comme $$\lim\limits_{x\to +\infty } -1+x^{2}=+\infty$$ et que $$-1+x^{2}\le x^{2}+\cos \left(x\right)$$.
Alors, d'après le théorème de comparaison