La géométrie dans l'espace et produit scalaire

Vecteurs colinéaires, coplanaires ou orthogonaux - Exercice 8

5 min
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Question 1

Soient u→(0;2;1)\overrightarrow{u} \left(0;2;1\right) et v→(9;1;−1)\overrightarrow{v} \left(9;1;-1\right) . Les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont-ils orthogonaux?

Correction
Soient u→(x;y;z)\overrightarrow{u} \left(x;y;z\right) et v→(x′;y′;z′)\overrightarrow{v} \left(x';y';z'\right) alors le produit scalaire u→.v→=xx′+yy′+zz′\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v} =xx'+yy'+zz' et si u→.v→=0\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v} =0 alors les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont orthogonaux.
u→.v→=0×9+2×1+1×(−1)=1\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v} =0\times 9 + 2\times 1+ 1\times \left(-1\right)=1 .
Les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} ne sont pas orthogonaux .
Question 2
Soient u⃗(1;x;3)\vec{u} \left(1;x;3\right) et v⃗(0;−2;4)\vec{v} \left(0;-2;4\right) et xx un réel.

Quelle doit être la valeur de xx pour que les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} soient orthogonaux?

Correction
Soient u⃗(x;y;z)\vec{u} \left(x;y;z\right) et v⃗(x′;y′;z′)\vec{v} \left(x';y';z'\right) alors le produit scalaire u⃗.v⃗=xx′+yy′+zz′\vec{u} .\vec{v} =xx'+yy'+zz' et si u⃗.v⃗=0\vec{u} .\vec{v} =0 alors les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux.
u⃗.v⃗=0\vec{u} .\vec{v} =0 équivaut successivement à :
1×0+x×(−2)+3×4=01\times 0+x\times \left(-2\right)+3\times 4=0
−2x+12=0-2x+12=0
−2x=−12-2x=-12
x=−12−2x=\frac{-12}{-2}
x=6x=6

Les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux lorsque x=6x=6.