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La géométrie dans l'espace et produit scalaire
Vecteurs colinéaires, coplanaires ou orthogonaux - Exercice 7
10 min
15
Dans chacun des cas suivants, calculez le produit scalaire
u
→
.
v
→
\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v}
u
.
v
. Que peut-on en déduire ?
Question 1
u
→
(
2
;
1
;
0
)
\overrightarrow{u} \left(2;1;0\right)
u
(
2
;
1
;
0
)
et
v
→
(
−
2
;
3
;
1
)
\overrightarrow{v} \left(-2;3;1\right)
v
(
−
2
;
3
;
1
)
Correction
Soient
u
→
(
x
;
y
;
z
)
\overrightarrow{u} \left(x;y;z\right)
u
(
x
;
y
;
z
)
et
v
→
(
x
′
;
y
′
;
z
′
)
\overrightarrow{v} \left(x';y';z'\right)
v
(
x
′
;
y
′
;
z
′
)
alors le produit scalaire
u
→
.
v
→
=
x
x
′
+
y
y
′
+
z
z
′
\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v} =xx'+yy'+zz'
u
.
v
=
x
x
′
+
y
y
′
+
z
z
′
et si
u
→
.
v
→
=
0
\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v} =0
u
.
v
=
0
alors les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
sont orthogonaux.
u
→
.
v
→
=
2
×
(
−
2
)
+
1
×
3
+
0
×
1
=
−
1
\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v} =2\times \left(-2\right)+1\times 3+0\times 1=-1
u
.
v
=
2
×
(
−
2
)
+
1
×
3
+
0
×
1
=
−
1
Dans ce cas, les vecteurs
u
⃗
\vec{u}
u
et
v
⃗
\vec{v}
v
ne sont pas orthogonaux.
Question 2
u
→
(
2
;
2
;
1
)
\overrightarrow{u} \left(2;2;1\right)
u
(
2
;
2
;
1
)
et
v
→
(
1
;
1
2
;
−
3
)
\overrightarrow{v} \left(1;\frac{1}{2} ;-3\right)
v
(
1
;
2
1
;
−
3
)
Correction
Soient
u
→
(
x
;
y
;
z
)
\overrightarrow{u} \left(x;y;z\right)
u
(
x
;
y
;
z
)
et
v
→
(
x
′
;
y
′
;
z
′
)
\overrightarrow{v} \left(x';y';z'\right)
v
(
x
′
;
y
′
;
z
′
)
alors le produit scalaire
u
→
.
v
→
=
x
x
′
+
y
y
′
+
z
z
′
\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v} =xx'+yy'+zz'
u
.
v
=
x
x
′
+
y
y
′
+
z
z
′
et si
u
→
.
v
→
=
0
\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v} =0
u
.
v
=
0
alors les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
sont orthogonaux.
u
→
.
v
→
=
2
×
1
+
2
×
1
2
+
1
×
(
−
3
)
=
0.
\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v} =2\times 1+2\times \frac{1}{2} +1\times \left(-3\right)=0.
u
.
v
=
2
×
1
+
2
×
2
1
+
1
×
(
−
3
)
=
0.
Dans ce cas, les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
sont orthogonaux.
Question 3
u
⃗
(
1
;
2
;
1
)
\vec{u} \left(1;2;1\right)
u
(
1
;
2
;
1
)
et
v
⃗
(
0
;
−
1
;
2
)
\vec{v} \left(0;-1;2\right)
v
(
0
;
−
1
;
2
)
Correction
Soient
u
→
(
x
;
y
;
z
)
\overrightarrow{u} \left(x;y;z\right)
u
(
x
;
y
;
z
)
et
v
→
(
x
′
;
y
′
;
z
′
)
\overrightarrow{v} \left(x';y';z'\right)
v
(
x
′
;
y
′
;
z
′
)
alors le produit scalaire
u
→
.
v
→
=
x
x
′
+
y
y
′
+
z
z
′
\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v} =xx'+yy'+zz'
u
.
v
=
x
x
′
+
y
y
′
+
z
z
′
et si
u
→
.
v
→
=
0
\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v} =0
u
.
v
=
0
alors les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
sont orthogonaux.
u
⃗
.
v
⃗
=
2
×
0
+
2
×
(
−
1
)
+
1
×
2
=
0.
\vec{u} .\vec{v} =2\times 0+2\times \left(-1\right)+1\times 2=0.
u
.
v
=
2
×
0
+
2
×
(
−
1
)
+
1
×
2
=
0.
Dans ce cas, les vecteurs
u
⃗
\vec{u}
u
et
v
⃗
\vec{v}
v
sont orthogonaux.