La géométrie dans l'espace et produit scalaire

Vecteurs colinéaires, coplanaires ou orthogonaux - Exercice 5

5 min
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On donne les points A(1;3;0)A\left(1;3;0\right) , B(3;4;1)B\left(3;4;1\right) , C(4;1;3)C\left(4;1;3\right) et D(2;0;2)D\left(2;0;2\right).
Question 1

Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont-elles parallèles ?

Correction

Calculons les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} et ensuite si les vecteurs sont colinéaires alors les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles.
AB→(211)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right) et CD→(−2−1−1)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \\ {-1} \end{array}\right).
Existe-t-il un réel kk tel que AB→=kCD→\overrightarrow{AB} =k\overrightarrow{CD} ?
On obtient le système suivant {2=−2k1=−k1=−k\left\{\begin{array}{ccc} {2} & {=} & {-2k} \\ {1} & {=} & {-k} \\ {1} & {=} & {-k} \end{array}\right. Ainsi {k=−1k=−1k=−1\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {-1} \\ {k} & {=} & {-1} \\ {k} & {=} & {-1} \end{array}\right.
Dans ce cas, AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires, donc les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles.