Repères et coordonnées - Exercice 2

$$A$$ est l'origine du repère ainsi $$A\left(0;0;0\right)$$
$$\overrightarrow{AB} =1\overrightarrow{AB} +0\overrightarrow{AD} +0\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$B$$ sont $$\left(1;0;0\right)$$
$$\overrightarrow{AD} =0\overrightarrow{AB} +1\overrightarrow{AD} +0\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$D$$ sont $$\left(0;1;0\right)$$
$$\overrightarrow{AE} =0\overrightarrow{AB} +0\overrightarrow{AD} +1\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$E$$ sont $$\left(0;0;1\right)$$
$$\overrightarrow{AF} =1\overrightarrow{AB} +1\overrightarrow{BF} =1\overrightarrow{AB} +0\overrightarrow{AD} +1\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$F$$ sont $$\left(1;0;1\right)$$
$$\overrightarrow{AH} =1\overrightarrow{AD} +1\overrightarrow{DH} =0\overrightarrow{AB} +1\overrightarrow{AD} +1\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$H$$ sont $$\left(0;1;1\right)$$
$$I$$ milieu de $$\left[AB\right]$$ ainsi les coordonnées de $$I$$ sont $$\left(\frac{1}{2} ;0;0\right)$$
On va maintenant donner les coordonnées de $$J$$ et $$K$$.
L'objectif est d'écrire par exemple que $$\overrightarrow{AJ} =\alpha \overrightarrow{AB} +\beta \overrightarrow{AD} +\gamma \overrightarrow{AE}$$
On a :
$$\overrightarrow{EJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{EF}$$
$$\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{EF}$$
$$\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{EF} -\overrightarrow{EA}$$
$$\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3} \left(\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AF} \right)-\overrightarrow{EA}$$
$$\overrightarrow{AJ} =-\frac{2}{3} \overrightarrow{EA} +\frac{1}{3} \overrightarrow{AF}$$
$$\overrightarrow{AJ} =-\frac{2}{3} \overrightarrow{EA} +\frac{1}{3} \left(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BF} \right)$$
$$\overrightarrow{AJ} =-\frac{2}{3} \overrightarrow{EA} +\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} +\frac{1}{3} \overrightarrow{BF}$$
$$\overrightarrow{AJ} =\frac{2}{3} \overrightarrow{AE} +\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} +\frac{1}{3} \overrightarrow{AE}$$
$$\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} +0\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$J$$ sont $$\left(\frac{1}{3} ;0;1\right)$$
On a également
$$\overrightarrow{EK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH}$$ équivaut successivement à
$$\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH}$$
$$\overrightarrow{AK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{EH} -\overrightarrow{EA}$$
$$\overrightarrow{AK} =0\overrightarrow{AB} +\frac{2}{3} \overrightarrow{AD} +\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$K$$ sont $$\left(0;\frac{2}{3} ;1\right)$$

On souhaite montrer si les droites $$\left(JK\right)$$ et $$\left(ID\right)$$ sont parallèles.
On connaît les coordonnées de $$J,K,I$$ et $$D$$.
Si les vecteurs $$\overrightarrow{JK}$$ et $$\overrightarrow{ID}$$ colinéaires alors les $$\left(JK\right)$$ et $$\left(ID\right)$$ seront bien parallèles
On sait les coordonnées des points suivants $$I\left(\frac{1}{2} ;0;0\right)$$ ; $$J\left(\frac{1}{3} ;0;1\right)$$ ; $$K\left(0;\frac{2}{3} ;1\right)$$et $$D\left(0;1;0\right)$$
On calcule les vecteurs $$\overrightarrow{JK} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{3} } \\ {\frac{2}{3} } \\ {0} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)$$
Existe-t-il un réel $$k$$ tel que $$\overrightarrow{JK} =k\overrightarrow{ID}$$ ?
On obtient le système suivant $$\left\{\begin{array}{ccc} {-\frac{1}{3} } & {=} & {-\frac{1}{2} k} \\ {\frac{2}{3} } & {=} & {k} \\ {0} & {=} & {0k} \end{array}\right.$$
Ainsi $$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {\frac{2}{3} } \\ {k} & {=} & {\frac{2}{3} } \\ {0} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Il en résulte que $$\overrightarrow{JK} =\frac{2}{3} \overrightarrow{ID}$$ .
Les vecteurs $$\overrightarrow{JK}$$ et $$\overrightarrow{ID}$$ sont colinéaires alors les $$\left(JK\right)$$ et $$\left(ID\right)$$ sont bien parallèles.