Plan cartésien - Exercice 5

$$\red{\text{ Etape 1 :}}$$
On commence par calculer les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ :
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-5} \\ {-3} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-7} \\ {-9} \end{array}\right)$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ ne sont pas colinéaires donc les points $$A,B$$ et $$C$$ définissent bien un plan.
$$\red{\text{ Etape 2 :}}$$
Calculons le vecteur $$\overrightarrow{DE}$$ et si $$\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{DE} =0$$ et $$\overrightarrow{AC} .\overrightarrow{DE} =0$$ alors le vecteur $$\overrightarrow{DE}$$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $$\left(ABC\right)$$, la droite $$\left(DE\right)$$ est donc orthogonale à ce plan.
Autrement dit : $$\overrightarrow{DE}$$ est un vecteur normal de $$\left(P\right)$$
$$\overrightarrow{DE} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{DE} =\left(-1\right)\times 2+\left(-5\right)\times \left(-1\right)+\left(-3\right)\times 1=0$$
$$\overrightarrow{AC} .\overrightarrow{DE} =1\times 2+\left(-7\right)\times \left(-1\right)+\left(-9\right)\times 1=0$$
Il en résulte que $$\overrightarrow{DE}$$ est bien un vecteur normal de $$\left(P\right)$$

L'écriture générale du plan $$\left(P\right)$$ est de la forme $$ax+by+cz+d=0$$
Comme $$\overrightarrow{DE} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right)$$ est un vecteur normal de $$\left(P\right)$$ alors on a : $$2x-y+z+d=0$$
Le point $$A\left(1;7;1\right)$$ appartient au plan $$\left(P\right)$$ donc :
$$2x_{A} -y_{A} +z_{A} +d=0$$ équivaut successivement à
$$2\times 1-7+1+d=0$$
$$d=4$$
Finalement l'écriture cartésienne du plan $$\left(P\right)$$ est :