La géométrie dans l'espace et produit scalaire

Montrer que deux droites sont parallèles - Exercice 2

5 min
10
On donne les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) de représentations paramétriques suivantes
(d1):{x=−4t−1y=2t+2z=−t+3\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-4t-1} \\ {y} & {=} & {2t+2} \\ {z} & {=} & {-t+3} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R} et (d2):{x=8sy=−4s+5z=2s+1\left(d_{2} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {8s} \\ {y} & {=} & {-4s+5} \\ {z} & {=} & {2s+1} \end{array}\right. où s∈s\in R\mathbb{R}
Question 1

Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles parallèles ?

Correction
Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
On note u1→(−42−1)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right) et u2→(8−42)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {8} \\ {-4} \\ {2} \end{array}\right) respectivement les vecteurs directeurs des droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right).
On vérifie facilement que les deux vecteurs directeurs sont colinéaires car u2→=−2u1→\overrightarrow{u_{2} }=-2\overrightarrow{u_{1} }, donc les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles.
Question 2

On donne les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) de représentations paramétriques suivantes
(d1):{x=−1y=2+tz=3t−1\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-1} \\ {y} & {=} & {2+t} \\ {z} & {=} & {3t-1} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R} et (d2):{x=−s+4y=s+4z=2+4s\left(d_{2} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-s+4} \\ {y} & {=} & {s+4} \\ {z} & {=} & {2+4s} \end{array}\right. où s∈s\in R\mathbb{R}

Correction
Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
On note u1→(013)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) et u2→(−114)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {4} \end{array}\right) respectivement les vecteurs directeurs des droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right).
On vérifie facilement que les deux vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires (non proportionnels), donc les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ne sont pas parallèles.