Montrer que deux droites sont parallèles - Exercice 1

5 min
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Question 1
On donne les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) de représentations paramétriques suivantes
(d1):{x=2t+1y=−tz=t+3\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2t+1} \\ {y} & {=} & {-t} \\ {z} & {=} & {t+3} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R} et (d2):{x=s+1y=2s+4z=−2s+3\left(d_{2} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {s+1} \\ {y} & {=} & {2s+4} \\ {z} & {=} & {-2s+3} \end{array}\right. où s∈s\in R\mathbb{R}

Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles parallèles ?

Correction
Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
On note u1→(2−11)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right) et u2→(12−2)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-2} \end{array}\right) respectivement les vecteurs directeurs des droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right).
On vérifie facilement que les deux vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires (non proportionnels), donc les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ne sont pas parallèles.
Question 2
On donne les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) de représentations paramétriques suivantes
(d1):{x=ty=−tz=2t−1\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-t} \\ {z} & {=} & {2t-1} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R} et (d2):{x=−2s+9y=2s+3z=−4s+2\left(d_{2} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-2s+9} \\ {y} & {=} & {2s+3} \\ {z} & {=} & {-4s+2} \end{array}\right. où s∈s\in R\mathbb{R}

Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles parallèles ?

Correction
Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
On note u1→(1−12)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \\ {2} \end{array}\right) et u2→(−22−4)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {2} \\ {-4} \end{array}\right) respectivement les vecteurs directeurs des droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right).
On vérifie facilement que les deux vecteurs directeurs sont colinéaires car u2→=−2u1→\overrightarrow{u_{2} }=-2\overrightarrow{u_{1} } , donc les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles.

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