Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 3

Soit le repère : $$\left(A;\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} ;\frac{1}{2}\overrightarrow{AD} ;\frac{1}{2}\overrightarrow{AE} \right)$$
$$A$$ est l'origine du repère ainsi $$A\left(0;0;0\right)$$

$$\overrightarrow{AB} =1\overrightarrow{AB} +0\overrightarrow{AC} +0\overrightarrow{AD}$$ que l'on peut écrire : $$\overrightarrow{AB} ={\color{blue}2}\times\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} +0\overrightarrow{AC} +0\overrightarrow{AD}$$ donc les coordonnées de $$B$$ sont $$\left(2;0;0\right)$$

Nous appliquons la même méthode pour les autres points. On obtient :
$$D\left(0;2;0\right)$$ , $$E\left(0;0;2\right)$$ , $$C\left(2;2;0\right)$$ , $$F\left(2;0;2\right)$$ , $$H\left(0;2;2\right)$$ , $$G\left(2;2;2\right)$$ , $$I\left(0;1;0\right)$$ , $$D\left(2;1;0\right)$$ , $$P\left(1;0;1\right)$$ et $$Q\left(2;1;2\right)$$

Soit le point $$M\left(x;y;z\right)$$ appartenant à la droite $$\left(PQ\right)$$ . De plus, nous savons que $$P\left(1;0;1\right)$$ et $$Q\left(2;1;2\right)$$
Cela donne :
$$\overrightarrow{PQ}\left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)$$ puis $$\overrightarrow{PM}\left(\begin{array}{c} {x-1} \\ {y} \\ {z-1} \end{array}\right)$$
Les points $$P$$, $$Q$$ et $$M$$ sont alignés, donc les vecteurs $$\overrightarrow{PQ}$$ et $$\overrightarrow{PM}$$ sont colinéaires.
Cela se traduit par :
$$\overrightarrow{PM}=t\overrightarrow{PQ}$$, ce qui donne $$\left\{\begin{array}{ccc} {x-1} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {t} \\ {z-1} & {=} & {t} \end{array}\right.$$ où $$t\in \mathbb{R}$$
Finalement l'équation paramétrique de $$\left(PQ\right)$$ est :

D'après l'énoncé, on admet qu’une représentation paramétrique de la droite $$\left(IJ\right)$$ est : $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {r} \\ {y} & {=} & {1} \\ {z} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ où $$r\in \mathbb{R}$$
Le point $$K$$ appartenant à la droite $$\left(IJ\right)$$ donc les coordonnées du point $$K$$ sont de la forme : $$\left(r; 1 ; 0\right)$$
Les droites $$\left(MK\right)$$ et $$\left(IJ\right)$$ sont orthogonales, il en résulte donc que les vecteurs $$\overrightarrow{IJ}$$ et $$\overrightarrow{MK}$$ sont orthogonaux. Cela signifie donc que le produit scalaire est nul. Autrement dit : $$\overrightarrow{IJ} .\overrightarrow{MK} =0$$
Il faut maintenant calculer les vecteurs $$\overrightarrow{IJ}$$ et $$\overrightarrow{MK}$$.
D'où :
$$\overrightarrow{IJ}\left(\begin{array}{c} {2} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right)$$ puis $$\overrightarrow{MK}\left(\begin{array}{c} {r-1-t} \\ {1-t} \\ {-1-t} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{IJ} .\overrightarrow{MK} =0$$ équivaut successivement à :
$$2\times \left(r-1-t\right)+0\times \left(1-t\right)+0\times \left(-1-t\right) =0$$
$$2\times \left(r-1-t\right)=0$$
$$r-1-t=0$$

Les coordonnées du point $$K$$ sont de la forme : $$\left({\color{blue}r}; 1 ; 0\right)$$ c'est à dire $$\left({\color{blue}1+t}; 1 ; 0\right)$$

Nous connaissons les coordonnées de $$M\left(1+ t ; t ; 1+ t\right)$$ et de $$K\left(1+ t; 1 ; 0\right)$$ . Ainsi : $$\overrightarrow{MK}\left(\begin{array}{c} {0} \\ {1-t} \\ {-1-t} \end{array}\right)$$
$$MK=\sqrt{\left(x_{K} -x_{M} \right)^{2} +\left(y_{K} -y_{M} \right)^{2} +\left(z_{K} -z_{M} \right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$MK=\sqrt{0^{2} +\left(1-t\right)^{2} +\left(-1-t\right)^{2} }$$
$$MK=\sqrt{0^{2} +\left(1-t\right)^{2} +\left(1+t\right)^{2} }$$ car $$\left(-1-t\right)^{2}=\left(1+t\right)^{2}$$
$$MK=\sqrt{1-2t+t^{2} +1+2t+t^{2} }$$

Nous savons d'après la question $$1$$ que $$H\left(0;2;2\right)$$ , $$G\left(2;2;2\right)$$ et $$B\left(2;0;0\right)$$
On vérifie facilement que les points $$H$$, $$B$$ et $$G$$ ne sont pas alignés, ils forment donc bien le plan $$\left(HGB\right)$$.
Il faut que les coordonnées des trois points vérifient l'équation cartésienne du plan $$y- z = 0$$.

Vérifions si le point $$B\left(2;0;0\right)$$ appartient au plan.
$$y_{B} -z_{B}=0-0=0$$ donc le point $$B\left(2;0;0\right)$$ appartient au plan.

Vérifions si le point $$H\left(0;2;2\right)$$ appartient au plan.
$$y_{H} -z_{H}=2-2=0$$ donc le point $$H\left(0;2;2\right)$$ appartient au plan.

Vérifions si le point $$G\left(2;2;2\right)$$ appartient au plan.
$$y_{G} -z_{G}=2-2=0$$ donc le point $$G\left(2;2;2\right)$$ appartient au plan.

Donc l'équation cartésienne du plan $$\left(HGB\right)$$ est bien $$y- z = 0$$.