Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 2

Comme $$ABCDEFGH$$ est un cube alors $$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CG}$$
Ainsi :
$$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CG}$$. Finalement : d'après la relation de Chasles.

Comme $$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AG}$$ alors :
$$\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}\right).\overrightarrow{BD}$$
$$\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BD}$$

$$\red{\text{ D'une part :}}$$

Dans le carré $$ABCD$$, les diagonales $$\left[BD\right]$$ et $$\left[AC\right]$$ sont perpendiculaires. Ainsi :

$$\red{\text{ D'autre part :}}$$

La droite $$\left(AE\right)$$ est perpendiculaire au plan $$\left(ABD\right)$$ donc les vecteurs $$\overrightarrow{AE}$$ et $$\overrightarrow{BD}$$ sont orthogonaux; il en résulte que :
Finalement :

Les vecteurs $$\overrightarrow{BE}$$ et $$\overrightarrow{BD}$$ sont deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan $$\left(BDE\right)$$.

Le vecteur $$\overrightarrow{AG}$$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan $$\left(BDE\right)$$ donc le vecteur $$\overrightarrow{AG}$$ est orthogonal au plan $$\left(BDE\right)$$.

On en déduit que la droite $$\left(AG\right)$$ est orthogonale au plan $$\left(BDE\right)$$.

Nous travaillons avec le repère orthonormé $$\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AE} \right)$$
Nous allons décomposer le vecteur $$\overrightarrow{AG}$$ en fonction des vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ , $$\overrightarrow{AD}$$ et $$\overrightarrow{AE}$$.
D'après la question $$1$$, on sait que :
$$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}$$ et donc que : $$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AE}$$
Enfin : $$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$$
Les cordonnées du point $$G$$ sont alors :
D’après la question $$3$$, la droite $$\left(AG\right)$$ est orthogonale au plan $$\left(BDE\right)$$ donc le vecteur $$\overrightarrow{AG}$$ est un vecteur normal au plan $$\left(BDE\right)$$.
Il en résulte que le plan $$\left(BDE\right)$$ s'écrit : $$x+y+z+d=0$$. Or le point $$B$$ appartient au plan $$\left(BDE\right)$$. Les coordonnées du point $$B$$ dans le repère $$\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AE} \right)$$ sont $$B\left(1 ;0 ;0 \right)$$
Il en résulte que : $$x_{B}+y_{B}+z_{B}+d=0$$ donne $$d=-1$$.
L'équation cartésienne du plan $$\left(BDE\right)$$ est bien :

Dans un premier temps, il nous faut déterminer une représentation paramétrique de la droite $$\left(AG\right)$$. La droite $$\left(AG\right)$$ passe par le point $$A\left( 0;0 ;0 \right)$$ et admet le vecteur $$\overrightarrow{AG}\left(1;1;1\right)$$ comme vecteur directeur. Il vient alors que la représentation paramétrique de la droite $$\left(AG\right)$$ est : $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {t} \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right.$$ où $$t\in \mathbb{R}$$.
Pour déterminer les coordonnées du point d’intersection $$K$$ de la droite $$\left(AG\right)$$ et du plan $$\left(BDE\right)$$, il nous faut résoudre le système suivant:
$$\left(\left(AG \right) \cap \left(BDE \right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x+y+z-1=0} \\ {x=t} \\ {y=t} \\ {z=t} \end{array}\right.$$ où $$t \in \mathbb{R}$$
$$\left(\left(AG \right) \cap \left(BDE \right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t+t+t-1=0} \\ {x=t} \\ {y=t} \\ {z=t} \end{array}\right.$$
$$\left(\left(AG \right) \cap \left(BDE \right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=\frac{1}{3}} \\ {x=t} \\ {y=t} \\ {z=t} \end{array}\right.$$
Les coordonnées du pont $$K$$ sont $$\left( \frac{1}{3};\frac{1}{3} ;\frac{1}{3}\right)$$

Le volume de la pyramide $$BDEG$$ est donné par la formule $$V=\frac{1}{3}\times \left(\text{hauteur}\right) \times \left(\text{aire de la base}\right)$$
Ici l'aire de la base est $$A$$ qui vaut $$\frac{\sqrt{3} }{2}$$.
De plus, la hauteur de la pyramide est issue de $$G$$. D’après les questions précédentes, cette hauteur est la longueur $$GK$$.
$$GK=\sqrt{\left(\frac{1}{3}-1\right)^{2} +\left(\frac{1}{3}-1\right)^{2} +\left(\frac{1}{3}-1\right)^{2} }$$
$$GK=\frac{2\sqrt{3} }{3}$$
Finalement : $$V=\frac{1}{3}\times \sqrt{{3} }{2} \times \frac{2\sqrt{3}}{3}$$
D'où :