Exercice 6 - Exercice 1

On a $$EJ=\frac{2}{3}$$, dans le triangle $$FEJ$$ rectangle en $$E$$ , on a $$FJ^{2} =FE^{2} +EJ^{2}$$ .
Ainsi $$FJ^{2} =1^{2} +\left(\frac{2}{3} \right)^{2} =\frac{13}{9}$$.
De même $$BI=\frac{2}{3}$$, dans le triangle $$FBI$$ rectangle en $$I$$ , on a $$FI^{2} =FB^{2} +BI^{2}$$ donc $$FI^{2} =1^{2} +\left(\frac{2}{3} \right)^{2} =\frac{13}{9}$$.
$$FJ^{2} =BI^{2} \Rightarrow FJ=BI$$, donc le triangle $$FIJ$$ est isocèle en $$F$$.
$$K$$ étant le milieu de $$\left(IJ\right)$$, la droite $$\left(FK\right)$$ médiane du triangle isocèle est aussi hauteur, donc perpendiculaire à $$\left(IJ\right)$$.

La droite $$\left(IJ\right)$$ est orthogonale à deux droites $$\left(FK\right)$$ et $$\left(GK\right)$$ sécantes du plan $$\left(FGK\right)$$ : elle est donc orthogonale à ce plan.

$$P$$ est le projeté orthogonal de $$G$$ sur le plan $$\left(FIJ\right)$$, donc la droite $$\left(PG\right)$$ est orthogonale à ce plan et en particulier à toute droite de ce plan : donc $$\left(PG\right)$$ est orthogonale à $$\left(IJ\right)$$.
De même $$\left(IJ\right)$$ est orthogonale au plan $$\left(FGK\right)$$, donc en particulier $$\left(IJ\right)$$ est orthogonale à $$\left(FG\right)$$.
Les points $$F$$, $$G$$ et $$P$$ non alignés définissent un plan $$\left(FGP\right)$$.
La droite $$\left(IJ\right)$$ orthogonale à deux droites sécantes de ce plan est orthogonale à ce plan $$\left(FGP\right)$$.

On vient de démontrer que les deux plans $$\left(FGK\right)$$ et $$\left(FGP\right)$$ sont orthogonaux à la droite $$\left(IJ\right)$$.
Mais ces deux plans contiennent le point $$F$$.
Il n'existe qu'un plan contenant un point $$F$$ et orthogonal à une droite $$\left(IJ\right)$$ donnée, donc $$F$$, $$G$$, $$K$$ et $$P$$ sont coplanaires.

$$P$$ appartient à la droite $$\left(IJ\right)$$ et comme $$K$$ appartient lui aussi à la droite $$\left(IJ\right)$$, les points $$F$$, $$P$$ et $$K$$ appartiennent au plan $$\left(FIJ\right)$$.
Les points $$F$$, $$G$$, $$K$$ et $$P$$ sont coplanaires donc les points $$F$$, $$K$$ et $$P$$ appartiennent au plan $$\left(FGK\right)$$.
Conclusion
$$F$$, $$K$$ et $$P$$appartiennent aux plans $$\left(FIJ\right)$$ et $$\left(FGK\right)$$ ; ces plans n'étant pas parallèles, leur intersection est une droite qui contient $$F$$, $$K$$ et $$P$$; donc les points $$F$$, $$K$$ et $$P$$ sont alignés.

On a :
$$\vec{AF} =\vec{AB} +\vec{AE}$$ ; donc $$F\left(1;0;1\right)$$
$$\vec{AG} =\vec{AB} +\vec{AD} +\vec{AE}$$ ; donc $$G\left(1;1;1\right)$$
$$\vec{AI} =\vec{AB} +\vec{BI} =\vec{AB} +\frac{2}{3} \vec{AD}$$ ; donc $$I\left(1;\frac{2}{3} ;0\right)$$
$$\vec{AJ} =\vec{AE} +\vec{EJ} =\vec{AE} +\frac{2}{3} \vec{AD}$$ ; donc $$J\left(0;\frac{2}{3};1\right)$$

$$G$$ a pour projeté orthogonal sur le plan $$\left(FIJ\right)$$ le point $$P$$, donc $$\left(GP\right)$$ est orthogonale à $$\left(FIJ\right)$$.
$$N$$ appartient à la droite $$\left(GP\right)$$, donc $$\left(GN\right)$$ est orthogonale à $$\left(FIJ\right)$$ donc à toute droite de ce plan.
Conclusion : $$\left(GN\right)$$ est orthogonale à $$\left(FI\right)$$ et à $$\left(FJ\right)$$ .

On a $$\vec{GN} \left(\begin{array}{l} {x-1} \\ {y-1} \\ {-1} \end{array}\right)$$ ; $$\vec{FI} \left(\begin{array}{l} {0} \\ {\frac{2}{3} } \\ {-1} \end{array}\right)$$ et $$\vec{FJ} \left(\begin{array}{l} {-1} \\ {\frac{2}{3} } \\ {0} \end{array}\right)$$
D'une part :
$$\vec{GN} \cdot \vec{FI} =\frac{2}{3} \left(y-1\right)+1$$
$$\vec{GN} \cdot \vec{FI} =\frac{2}{3} y+\frac{1}{3}$$
D'autre part :
$$\vec{GN} \cdot \vec{FJ} =\left(x-1\right)\times \left(-1\right)+\frac{2}{3} \left(y-1\right)$$
$$\vec{GN} \cdot \vec{FJ} =-x+\frac{2}{3} y+\frac{1}{3}$$

D'après la question $$7$$, les deux produits scalaires ci-dessus sont nuls car la droite $$\left(GN\right)$$ est orthogonale aux droites $$\left(FI\right)$$et $$\left(FJ\right)$$.
Ainsi,

D'une part,
$$\frac{2}{3} y+\frac{1}{3} =0$$
$$y=-\frac{1}{2}$$

D'autre part,
$$-x+\frac{2}{3} y+\frac{1}{3} =0$$
$$x=-\frac{1}{3} +\frac{1}{3}$$
$$x=0$$
Les cordonnées de $$N$$sont donc $$\left(0;-\frac{1}{2} ;0\right)$$.
On a le résumé de tout ce que l'on a fait sur la figure ci-dessous :