Exercice 1 DEJA UTILISE EN MATHS SPECIALITE - Exercice 1
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Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé (0;i;j;k).
Question 1
On considère le plan (P) d'équation x−2y+3=0 et la droite (D) dont une représentation paramétrique est ⎩⎨⎧xyz===2t3−4t−2+6t où t∈R . Proposition : « La droite (D) et le plan (P) sont orthogonaux ».
Correction
la proposition est fausse
Soient n1 un vecteur normal du plan (P1) et u1 un vecteur directeur de (d1).
Si n1et u1 sont colinéaires alors (P1) et (d1) sont orthogonaux.
Si n1et u1 sont ne sont pas colinéaires alors (P1) et (d1) ne sont pas orthogonaux.
Soient n⎝⎛1−20⎠⎞un vecteur normal du plan (P) et u⎝⎛2−46⎠⎞ un vecteur directeur de (D). On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires , alors (P) et (D) ne sont pas orthogonaux.
Question 2
On donne les points B(2;4;0) et C(3;5;2). Proposition : « Une représentation paramétrique de la droite (BC) est ⎩⎨⎧xyz===1+t3+t−2+2t où t∈R ».
Correction
la proposition est vraie Si la représentation paramétrique de la droite est donnée et qu'elle correspond bien à la droite (BC) alors les cordonnées des points B(2;4;0) et C(3;5;2) doivent vérifier la représentation paramétrique. Vérifions si le point B(2,4,0) appartient à la droite , il vient : ⎩⎨⎧xByBzB===1+t3+t−2+2t équivaut successivement à : ⎩⎨⎧240===1+t3+t−2+2t ⎩⎨⎧240===1+t3+t−2+2t On résout chacune des équations : ⎩⎨⎧111===ttt Pour chaque ligne on obtient la même valeur de t. Le point B(2,4,0) appartient donc à la droite. Vérifions maintenant si le point C(3,5,2) appartient à la droite. Il vient alors que : ⎩⎨⎧xCyCzC===1+t3+t−2+2t équivaut successivement à : ⎩⎨⎧352===1+t3+t−2+2t ⎩⎨⎧222===ttt Les trois valeurs de t sont égales ce qui signifie que le le point C appartient à la droite. Il en résulte que la représentation paramétrique donnée est bien celle de la droite (BC).
Question 3
Soient les points A(2;1;−1), B(−1;2;4) , C(0;−2;3) et D(1;1;−2). Proposition : « Ces 4 points sont coplanaires ».
Correction
la proposition est fausse
les points A,B,C et D sont coplanaires s'il existe deux réels a et b tels que : AB=aAC+bAD
Calculons maintenant les vecteurs AB,AC et AD. AB⎝⎛−315⎠⎞ , AC⎝⎛−2−34⎠⎞ et AD⎝⎛−10−1⎠⎞ AB=aAC+bAD⇔⎝⎛−315⎠⎞=a⎝⎛−2−34⎠⎞+b⎝⎛−10−1⎠⎞ AB=aAC+bAD⇔⎝⎛−2a−3a4a−−bb===−315 Comme a=−31, on substitue a dans la première ligne et la troisième ligne et l'on doit obtenir les deux mêmes valeurs pour b . Cela donne : ⎝⎛−2×(−31)a4×(−31)−−bb===−3−315 équivaut successivement à : ⎝⎛bab===311−31−319 Nous avons deux valeurs différentes pour b. Les points A,B,C et D ne sont donc pas coplanaires.
Question 4
Soient les points B(−1;2;4) et D(1;1;−2). Proposition : « La droite (BD) est incluse dans le plan paramétrique P d'équation ⎩⎨⎧xyz===−31−1+++t2tt+−+ss4s avec (t,s)∈R2 ».
Correction
la proposition est fausse Si la droite (BD) est incluse dans le plan paramétrique P alors les points B(−1;2;4) et D(1;1;−2) doivent vérifier le système paramétrique. D'une part, vérifions si B(−1;2;4) appartient à P. Il vient : ⎩⎨⎧xByBzB===−31−1+++t2tt+−+ss4s équivaut successivement à : ⎩⎨⎧−124===−31−1+++t2tt+−+ss4s ⎩⎨⎧t2tt+−+ss4s===215 Nous avons un système de 3 équations à 2 inconnues. On va le résoudre par substitution. Avec la 1ère ligne on exprime t en fonction de s. Et on substitue cette valeur t dans les deux dernières lignes. ⎩⎨⎧t2×(2−s)−s2−s+4s===2−s15 ⎩⎨⎧t4−2s−s2+3s===2−s15 Ainsi ⎩⎨⎧tss===2−s11 Les deux valeurs de s sont égales . Le point B(−1;2;4) appartient donc à P.
D'autre part, vérifions si D(1;1;−2) appartient à P. Il vient : ⎩⎨⎧xDyDzD===−31−1+++t2tt+−+ss4s équivaut successivement à : ⎩⎨⎧11−2===−31−1+++t2tt+−+ss4s ⎩⎨⎧t2tt+−+ss4s===40−1 Nous avons un système de 3 équations à 2 inconnues. On va le résoudre par substitution. Avec la 1ère ligne on exprime t en fonction de s. Et on substitue cette valeur t dans les deux dernières lignes. ⎩⎨⎧t2×(4−s)−s4−s+4s===4−s0−1 ⎩⎨⎧t8−2s−s2+3s===4−s0−1 Ainsi ⎩⎨⎧tss===2−s38−1 Les deux valeurs de s ne sont pas égales . Le point D(1;1;−2) n'appartient pas donc à P. La droite (BD) n'est pas incluse dans le plan paramétrique P.
Question 5
Soient les points B(−1,2,4) et D(1,1,−2). Proposition « La droite (BD) est-elle orthogonale au plan P paramétrique d'équation ⎩⎨⎧xyz===−31−1+−+t4tt+−+4s4s2s avec (t,s)∈R2 ».
Correction
la proposition est vraie Commençons par calculer le vecteur BD, ainsi BD⎝⎛2−1−6⎠⎞ Ensuite d'après le plan paramétrique P, on peut exprimer deux vecteurs directeurs du plan P (ce sont les coefficients devant les variables s et t). On les note u1⎝⎛1−41⎠⎞ et u2⎝⎛4−42⎠⎞. SI la droite (BD) est orthogonale au plan P, il faut que BD soit orthogonale à u1 et à u2. Ainsi : BD.u1=2×1+(−1)×(−4)+(−6)×1=0 BD.u2=2×4+(−1)×(−4)+(−6)×2=0 Il vient alors que la droite (BD) est orthogonale au plan P.
Question 6
Soient les points B(5,−1,2), C(3,0,−1) et D(1,1,0). Proposition : « Les points B, C et D forment un plan ».
Correction
la proposition est vraie
Calculons les vecteurs BC et BD, ensuite si les vecteurs ne sont pas colinéaires alors les points B,C et D forment un plan.
On a : BC⎝⎛−21−3⎠⎞ et BD⎝⎛−42−2⎠⎞ Existe-t-il un réel k tel que BC=kBD ? On obtient le système suivant ⎩⎨⎧−21−3===−4k2k−2k Ainsi : ⎩⎨⎧kkk===212123 . Dans ce cas, AB et AC ne sont pas colinéaires, donc les points A,B et C ne sont pas alignés. Les points A,B et C forment donc un plan.
Question 7
Soient les points B(1,3,2), C(5,7,−1) et D(−1,1,9). On admet que les points B, C et D forment un plan. Proposition : « Une équation cartésienne du plan (BCD) est x−y+2=0 » .
Correction
la proposition est vraie
Il faut que les coordonnées des trois points vérifient l'équation cartésienne du plan x−y+2=0.
Vérifions si le point B(1,3,2) appartient au plan. xB−yB+2=1−3+2=0 donc le point B(1,3,2) appartient au plan.
Vérifions si le point C(5,7,−1) appartient au plan. xc−yc+2=5−7+2=0 donc le point C(5,7,−1) appartient au plan.
Vérifions si le point D(−1,1,9) appartient au plan. xD−yD+2=−1−1+2=0 donc le point D(−1,1,9) appartient au plan.
Donc l'équation cartésienne du plan (BCD) est bien x−y+2=0.
Question 8
On donne les droites (d1) et (d2) de représentations paramétriques suivantes : (d1):⎩⎨⎧xyz===2t+3t−1−t+2 où t∈R et (d2):⎩⎨⎧xyz===s+2−2s+6−s+4 où s∈R Proposition : « Les droites (d1) et (d2) sont coplanaires ».
Correction
la proposition est vraie
Deux droites sont coplanaires si elles soient parallèles ou soient sécantes.
Etape 1 On note u1⎝⎛21−1⎠⎞ et u2⎝⎛1−2−1⎠⎞ respectivement les vecteurs directeurs des droites (d1) et (d2). On vérifie facilement que les deux vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, donc les droites (d1) et (d2) sont parallèles. Etape 2 Il faut résoudre le système constitué des deux écritures paramétriques des droites (d1) et (d2), et déterminons les valeurs de t et s. (d1)∩(d2)⇔⎩⎨⎧2t+3t−1−t+2===s+2−2s+6−s+4 avec la première ligne on exprime sen fonction de t, puis on remplace ensuite s dans la 2ème équation et dans la 3ème pour déterminer la valeur de t. (d1)∩(d2)⇔⎩⎨⎧2t+3−2t−1−t+2===s−2s+6−s+4 ensuite (d1)∩(d2)⇔⎩⎨⎧2t+1t−1−t+2===s−2×(2t+1)+6−(2t+1)+4 (d1)∩(d2)⇔⎩⎨⎧2t+1t−1−t+2===s−4t−2+6−2t−1+4 (d1)∩(d2)⇔⎩⎨⎧2t+1t−1−t+2===s−4t+4−2t+3 (d1)∩(d2)⇔⎩⎨⎧2t+1t+4t−t+2t===s4+1−2+3 (d1)∩(d2)⇔⎩⎨⎧2t+15tt===s51 (d1)∩(d2)⇔⎩⎨⎧2t+1tt===s11 Ici, les valeurs de t sont égales, on peut ainsi définir s. (d1)∩(d2)⇔⎩⎨⎧stt===311 On remplace maintenant les valeurs de t et s respectivement dans les droites (d1) et (d2). (d1):⎩⎨⎧xyz===2×1+31−1−1+2===501et (d2):⎩⎨⎧xyz===3+2−2×3+6−3+4===501 Notons I(5;0;1) le point d'intersection entre les droites (d1) et (d2). Il en résulte que les droites (d1) et (d2) sont coplanaires.
Question 9
Soient (P1) le plan d'équation x+2y−z=1 et (P2) le plan d'équation −2x+3y−2z−3=0. Proposition : « (P1) et (P2) sont parallèles ».
Correction
la proposition est fausse
Soient n1et n2 des vecteurs normaux respectifs des plans (P1) et (P2).
si n1 et n2 sont colinéaires alors (P1) et (P2) sont parallèles.
si n1 et n2 ne sont pas colinéaires alors (P1) et (P2) ne sont pas parallèles.
Soient n1⎝⎛12−1⎠⎞et n2⎝⎛−23−2⎠⎞ des vecteurs normaux respectifs des plans (P1) et (P2). On vérifie facilement que les deux vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, alors les plans (P1) et (P2) ne sont pas parallèles.
Question 10
Soient (P1) le plan d'équation : x+2y−z=1 et (P2) le plan d'équation −2x+3y−2z−3=0. Proposition : « (P1) et (P2) sont orthogonaux » .
Correction
la proposition est fausse
Soient n1et n2 des vecteurs normaux respectifs des plans (P1) et (P2).
si n1.n2=0 alors (P1) et (P2) sont orthogonaux.
si n1.n2=0 alors (P1) et (P2) ne sont pas orthogonaux.
Soient n1⎝⎛12−1⎠⎞et n2⎝⎛−23−2⎠⎞ des vecteurs normaux respectifs des plans (P1) et (P2). n1.n2=1×(−2)+2×3+(−1)×(−2)=6=0. Il en résulte que les plans (P1) et (P2) ne sont pas orthogonaux.
Question 11
Soient (P1) le plan sous forme paramétrique ⎩⎨⎧xyz===123++−t2t2t+−+2t′4t′2t′avec (t,t′)∈R2 et (P2) le plan d'équation −2x+3y−2z−3=0. Proposition : « (P1) et (P2) sont parallèles ».
Correction
la proposition est fausse Notons n2 un vecteur normal de(P2) , ainsi n2⎝⎛−23−2⎠⎞. Ensuite d'après le plan paramétrique (P1), on peut exprimer deux vecteurs directeurs du plan (P1) (ce sont les coefficients devant les variables t et t′). On les note u1⎝⎛12−2⎠⎞ et u2⎝⎛2−42⎠⎞. On vérifie facilement que les vecteurs u1 et u2 ne sont pas colinéaires. SI (P1) et (P2) sont parallèles, il faut que n2 soit orthogonale à u1 et à u2. Ainsi : n2.u1=(−2)×1+3×2+(−2)×(−2)=8=0 n2.u2=(−2)×2+3×(−4)+(−2)×2=−20=0 Il vient alors que (P1) et (P2) ne sont pas parallèles.
Question 12
Soit la droite (d1) dont une représentation paramétrique est : ⎩⎨⎧xyz===2t−1t+1t+2 où t∈R et on considère le plan P d'équation : x+3y−4z+8=0. Proposition : « La droite (d1) coupe le plan P au point M de coordonnées (−5;−1;0) ».
Correction
la proposition est vraie
Etape 1 Commencer par vérifier si le plan et la droite ne sont pas parallèles, par conséquent le plan et la droite sont sécants. Etape 2 Il faut résoudre le système constitué de l'écriture paramétrique de la droite (d1) et du plan (P) pour déterminer la valeur de t. Ensuite, on substitue la valeur t dans la droite (d1) pour obtenir les coordonnées du point d'intersection entre le plan et la droite.
Soient n1⎝⎛13−4⎠⎞un vecteur normal du plan P et u1⎝⎛211⎠⎞ un vecteur directeur de (d1). n1.u1=1×2+3×1+(−4)×1=0 . P et (d1) ne sont pas parallèles, par conséquent ils sont sécants. (P∩d1)⇔⎩⎨⎧x+3y−4z+8=0x=2t−1y=t+1z=t+2où t∈R . On remplace la valeur de x,y et z dans le plan P (P∩d1)⇔⎩⎨⎧2t−1+3×(t+1)−4×(t+2)+8=0x=2t−1y=t+1z=t+2 (P∩d1)⇔⎩⎨⎧2t−1+3t+3−4t−8+8=0x=2t−1y=t+1z=t+2 donc (P∩d1)⇔⎩⎨⎧t+2=0x=2t−1y=t+1z=t+2 Ainsi : (P∩d1)⇔⎩⎨⎧t=−2x=2t−1y=t+1z=t+2 . Maintenant que nous avons la valeur de t, on peut obtenir les valeurs de x,yet z. (P∩d1)⇔⎩⎨⎧t=−2x=2×(−2)−1y=−2+1z=−2+2. Il en résulte que (P∩d1)⇔⎩⎨⎧t=−2x=−5y=−1z=0 Les coordonnées du point d'intersection entre la droite et le plan est le point (−5;−1;0)
Question 13
On donne les points A(2;1,1) , B(2;0;1) et C(1;1;1) . On considère le plan P d'équation 2x−4z+8=0. Proposition : « Les plans P et (ABC) sont parallèles » .
Correction
la proposition est fausse On ne connaît pas l'écriture cartésienne du plan (ABC) mais ce n'est pas grave.
En effet, si deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) sont orthogonaux à un vecteur normal de P alors les plans P et (ABC) sont parallèles.
Il vient alors que : AB⎝⎛0−10⎠⎞ et AC⎝⎛−100⎠⎞. Les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires donc les points A , B et C forment bien le plan (ABC). D'autre part, un vecteur normal de P est n(2;0;−4) Commençons par calculer : n.AB=2×0+(−1)×0+(−4)×0=0 n.AC=2×(−1)+0×0+(−4)×0=−2=0 Nous avons deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) qui ne sont pas tous les deux orthogonaux à un vecteur normal de P alors les plans P et (ABC) ne sont pas parallèles.
Question 14
On considère le plan (P) d'équation 2x+5y+z−5=0.
Proposition : Tous les points dont les coordonnées (x;y;z) sont données par la représentation paramétrique ⎩⎨⎧xyz===1+t−2t′1−2t+t′1−4t+2t′ où t∈R et t′∈R appartiennent au plan (P).
Correction
la proposition est fausse L'ensemble ⎩⎨⎧xyz===1+t−2t′1−2t+t′1−4t+2t′ correspond à une représentation paramétrique d'un plan. Les points appartenant à ce plan ont comme coordonnées M(1+t−2t′;1−2t+t′;1−4t+2t′). Nous allons vérifier si ces coordonnées appartiennent également au plan cartésien (P). Il vient alors que : 2xM+5yM+zM−5=2(1+t−2t′)+5(1−2t+t′)+1−4t+2t′−5 2xM+5yM+zM−5=2+2t−4t′+5−10t+5t′+1−4t+2t′−5 2xM+5yM+zM−5=3−12t+t′ Or : 2xM+5yM+zM−5 n’est pas égal à 0 pour tout t et t′.
Question 15
Soient A, B et C trois points du plan. Proposition : AB.AC=CA.BA
Correction
la proposition est vraie
Le produit scalaire de deux vecteurs u et v non nuls est défini par :
u.v=∥u∥×∥v∥×cos(u,v)
D'après la définition, on a :
d'une part : AB.AC=∥∥AB∥∥×∥∥AC∥∥×cos(AB,AC) d'où : AB.AC=AB×AC×cos(AB,AC)
d'autre part : CA.BA=∥∥CA∥∥×∥∥BA∥∥×cos(CA,BA) d'où : CA.BA=CA×BA×cos(CA,BA)
Nous allons utiliser les notions d'angles orientés pour permettre de répondre à cette question .
Soient les vecteurs u et v on a alors :
(−u;−v)=(u;v)
(v;u)=−(u;v)
(CA,BA)=(−AC,−AB)=(AC,AB)=−(AB,AC) Il en résulte donc que : cos(CA,BA)=cos(−(AB,AC))=cos(AB,AC) car cos(−x)=cos(x) Ainsi : CA.BA=CA×BA×cos(CA,BA) peut s'écrire CA.BA=CA×BA×cos(AB,AC) Il en résulte donc que : AB.AC=AB×AC×cos(AB,AC) et CA.BA=CA×BA×cos(AB,AC) De ce fait : AB.AC=CA.BA