Positivité de l'intégrale. Soient
f,
g et
h trois fonctions continues sur un intervalle
[a;b] Si f(x)≥g(x) alors ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx Si f(x)≤g(x) alors ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx Si h(x)≤f(x)≤g(x) alors ∫abh(x)dx≤∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx Si h(x)≥f(x)≥g(x) alors ∫abh(x)dx≥∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx Pour tout réel
x∈[1;2], d'après la question
5, on a :
0≤xn+11ln(x)≤xn+11ln(2).
D'après
la positivité de l'intégrale, on a :
∫120dx≤∫12xn+11ln(x)dx≤∫12xn+11ln(2)dx 0≤un≤∫12xn+11ln(2)dxIl nous faut donc calculer :
∫12xn+11ln(2)dxAinsi :
∫12xn+11ln(2)dx=ln(2)∫12xn+11dxPour tout entier naturel
n, la fonction
x↦xn+11 a pour primitive la fonction
x↦−nxn1.
Il en résulte donc que :
ln(2)∫12xn+11dx=ln(2)×[−nxn1]12 ln(2)∫12xn+11dx=ln(2)×(−n×2n1−(−n×1n1))ln(2)∫12xn+11dx=ln(2)×(−n×2n1+n1) Nous allons factoriser maintenant l'expression par
n1 .
ln(2)∫12xn+11dx=ln(2)×n1×(1−2n1) ln(2)∫12xn+11dx=nln(2)×(1−2n1)Finalement :
pour tout entier naturel
n, on a :
0≤un≤nln(2)(1−2n1)