Limites - Exercice 2

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to 1^{+}} 3x-3=0^{+}$$. Le tableau de signe ci-dessous nous explique pourquoi $$\lim\limits_{x\to 1^{+}} 3x-3=0^{+}$$
On pose $$X=3x-3$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to 0^{+} } \ln \left(X\right) =-\infty$$.
Par composition :

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x}=0^{+}$$.
On pose $$X=\frac{1}{x}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to 0^{+} } \ln \left(X\right) =-\infty$$.
Par composition :

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to -\infty } 2-5x=+\infty$$.
On pose $$X=2-5x$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to +\infty } \ln \left(X\right) =+\infty$$.
Par composition :

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer : $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{x^{2}+3}{x^{2}} \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} +x+1}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\left(\frac{x^{2} +3}{x^{2} } \right)}{\left(\frac{x^{2} +x+1}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{3}{x^{2} } }{\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{x}{x^{2} } +\frac{1}{x^{2} } }$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1+\frac{3}{x^{2} } }{1+\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\frac{3}{x^{2}}} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ par quotient :
On pose $$X=\frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to 1} \ln \left(X\right) =0$$.
Par composition :

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to -\infty } 1+\frac{1}{x^{2}}=1$$.
On pose $$X=1+\frac{1}{x^{2}}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to 1} \ln \left(X\right) =0$$.
Par composition :

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to 9^{-}} -x+9=0^{+}$$. Le tableau de signe ci-dessous nous explique pourquoi $$\lim\limits_{x\to 9^{-}} -x+9=0^{+}$$
On pose $$X=-x+9$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to 0^{+} } \ln \left(X\right) =-\infty$$.
Par composition :

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2}=+\infty$$.
On pose $$X=x^{2}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to +\infty } \ln \left(X\right) =+\infty$$.
Par composition :

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}+1=1$$ car $$\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}=0$$
On pose $$X= e^{x}+1$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to 1} \ln \left(X\right) =0$$.
Par composition :

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to 0^{+} } \sin\left(x\right)=0^{+}$$
On pose $$X= \sin\left(x\right)$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to 0^{+}} \ln \left(X\right) =-\infty$$.
Par composition :