Exercice 7 - Exercice 1

On remarque , d'après le graphique , que la fonction $$f$$ est d'abord négative, puis positive et enfin négative.
Ainsi la représentation graphique de sa primitive $$F$$ devrait être donc commencer par être décroissante, croissante et enfin décroissante.
Or la représentation graphique de la courbe $$\Gamma$$ est uniquement décroissante. Elle ne peut donc pas correspondre à la représentation graphique de $$F$$.
Finalement, La courbe $$\Omega$$ est la représentation graphique de $$F$$.

Le point $$A\left(1;1\right)$$ appartient à $$C_{f}$$, il vient alors que .
La courbe $$C_{f}$$ admet une tangente horizontale en son point d’abscisse $$2$$. Or le coefficient directeur d'une tangente horizontale est nulle. Par définition, $$f'\left(2\right)$$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$2$$.
Ainsi

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
On obtient alors :

D'après les questions précédentes, nous savons que : $$f\left(1\right)=1$$ et $$f'\left(2\right)=0$$.

D'une part :

$$f'\left(2\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\frac{6}{2} +a=0$$

D'autre part :

$$f\left(1\right)=1$$ équivaut successivement à :
$$6\ln \left(1\right)+a\times 1+b=1$$
$$a+b=1$$
$$-3+b=1$$

Finalement : $$f\left(x\right)=6\ln \left(x\right)-3x+4$$.