Exercice 2 - Exercice 1

$$f$$ est définie si $$1+2x>0$$ donc $$f$$ est définie sur $$\left]-\frac{1}{2} ;+\infty \right[$$ et est dérivable comme fonction composée de fonctions dérivables.
On calcule la dérivée de $$f$$ :

Or sur l'intervalle $$\left]-\frac{1}{2} ;+\infty \right[$$, le dénominateur $$1+2x>0$$ et le numérateur $$2>0$$.
Ainsi $$f'(x)>0$$.
La fonction est donc croissante sur $$I$$.

On a : $$\lim\limits_{x\to -\frac{1}{2} ^{+} } (1+2x)=0^{+}$$
On pose $$X=1+2x$$, ainsi : $$\lim\limits_{X\to 0^{+} } \ln (X)=-\infty$$
Il en résulte par composition que : $$\lim\limits_{x\to -\frac{1}{2} ^{+} } \ln (1+2x)=-\infty$$
Finalement :

$$g(x)=f(x)-x$$ équivaut successivement à
$$g(x)=\ln (1+2x)-x$$
$$g'(x)=f'(x)-1$$
$$g'(x)=\frac{2}{1+2x} -1$$
$$g'(x)=\frac{2-1-2x}{1+2x}$$
qui est du signe de $$1-2x$$ puisque sur $$I$$, $$1+2x>0$$.
Ainsi $$-2x+1\ge 0\Leftrightarrow x\le \frac{1}{2}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$$ alors $$g'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$g$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[\frac{1}{2};+\infty\right[$$ alors $$g'\left(x\right)\le0$$ et donc $$g$$ est décroissante sur cet intervalle.

On traduit ces informations dans un tableau de variation
On a $$g\left(\frac{1}{2} \right)=\ln \left(2\right)-\frac{1}{2} >0$$.
De plus : $$\lim\limits_{x\to -\frac{1}{2} ^{+} } g(x)=-\infty$$ car $$\lim\limits_{x\to -\frac{1}{2} ^{+} } f(x)=-\infty$$

D'après la question précédente, on en déduit le signe de $$g$$ :

On a :
$$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left]0;\beta \right[$$ qui se traduit en inégalité $$0<x<\beta$$
Or la fonction $$f$$ est croissante sur $$\left]0;\beta \right[$$, d'où :
$$f(0)<f(x)<f(\beta )$$
Or : $$f(0)=0$$ et$$f(\beta )=g(\beta )+\beta =0+\beta =\beta$$.
On en déduit donc : $$0<f(x)<\beta$$.
Ainsi :

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :0<u_{n} <\beta$$
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =1$$ ainsi $$0<u_{0} <\beta$$ car $$\beta >1$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
Soit $$k$$ un entier naturel.
On suppose qu'à partir d'un certain rang $$k$$, la propriété $$P_{k}$$est vraie c'est-à-dire : $$0<u_{k} <\beta$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$0<u_{k+1} <\beta$$
Par hypothèse de récurrence :
$$0<u_{k} <\beta$$ , or la fonction $$f$$ est croissante $$\left]0;\beta \right[$$, d'où
$$f\left(0\right)<f\left(u_{k} \right)<f\left(\beta \right)$$. Or $$f\left(0\right)=0$$ et $$f\left(\beta \right)=\beta$$.
Il vient alors que :
$$0<f\left(u_{k} \right)<\beta$$. De plus, $$f\left(u_{k} \right)=u_{k+1}$$
Finalement : $$0<u_{k+1} <\beta$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien $$0<u_{n} <\beta$$ .

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$u_{n+1} >u_{n}$$
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =1$$ et que $$u_{1} =f\left(u_{0} \right)$$ainsi $$u_{1} =f\left(1\right)=\ln \left(3\right)>1$$ . Il vient alors que $$u_{1} >u_{0}$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
Soit $$k$$ un entier naturel.
On suppose qu'à partir d'un certain rang $$k$$, la propriété $$P_{k}$$est vraie c'est-à-dire $$u_{k+1} >u_{k}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+2} >u_{k+1}$$
Par hypothèse de récurrence
$$u_{k+1} >u_{k}$$ , or la fonction $$f$$ est croissante , d'où
$$f\left(u_{k+1} \right)>f\left(u_{k} \right)$$
Finalement
$$u_{k+2} >u_{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, la suite $$\left(u_{n} \right)_{n\ge 0}$$ est croissante.

La suite $$\left(u_{n} \right)_{n\ge 0}$$ est majorée par $$\beta$$ et croissante elle converge donc vers un nombre inférieur ou égale à $$\beta$$.