Commençons par calculer
g(1).
g(1)=ln(1)+1−1 d'où :
g(1)=0Nous intégrons cette information dans le tableau de variation ci-dessous :
Sur
]0;+∞], la fonction
g est
continue et
strictement croissante.
De plus,
x→0+limg(x)=−∞ et
x→+∞limg(x)=+∞ .
Or
0∈]−∞;+∞[, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution
α appartenant à l'intervalle
]0;+∞] tel que
g(x)=0.
On a vu précédemment que
g(1)=0.
Sur
]0;+∞], la fonction
g est continue et strictement croissante et
g(1)=0Donc
g(x)≤0 pour tout
x∈]0;1] et
g(x)≥0 pour tout
x∈[1;+∞]On résume cela dans un tableau de signe :