Dérivées ln(x) - Exercice 1

30 min
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Déterminer les dérivées des fonctions suivantes, en donnant dans un premier temps leur domaine de dérivabilité.
Question 1

f(x)=2ln⁡(x)+x+2f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+x+2

Correction
La fonction ffest définie si et seulement si x>0x>0. De plus ffest dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
f′(x)=2x+1f'\left(x\right)=\frac{2}{x} +1

On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe. Ainsi
f′(x)=2+xxf'\left(x\right)=\frac{2+x}{x}
Question 2

f(x)=xln⁡(x)f\left(x\right)=x\ln \left(x\right)

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0.
De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=1×ln⁡(x)+x×1xf'\left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x}
f′(x)=ln⁡(x)+xxf'\left(x\right)= \ln \left(x\right)+\frac{x}{x}
f′(x)=ln⁡(x)+1f'\left(x\right)=\ln \left(x\right)+1
Question 3

f(x)=ln⁡(x)2x+1f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{2x+1}

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0.
De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=ln⁡(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et v(x)=2x+1v\left(x\right)=2x+1.
Ainsi u′(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x} et v′(x)=2v'\left(x\right)=2.
Il vient alors que :
f′(x)=1x×(2x+1)−2ln⁡(x)(2x+1)2f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times \left(2x+1\right)-2\ln \left(x\right)}{\left(2x+1\right)^{2} }
f′(x)=1x×2x+1x×1−2ln⁡x(2x+1)2f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times 2x+\frac{1}{x} \times 1-2\ln x}{\left(2x+1\right)^{2} }
f′(x)=2xx+1x×1−2ln⁡x(2x+1)2f'\left(x\right)=\frac{\frac{2x}{x} +\frac{1}{x} \times 1-2\ln x}{\left(2x+1\right)^{2} }
f′(x)=2+1x−2ln⁡(x)(2x+1)2f'\left(x\right)=\frac{2+\frac{1}{x} -2\ln \left(x\right)}{\left(2x+1\right)^{2} }
Question 4

f(x)=(2x+3)ln⁡(x)f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\ln \left(x\right)

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0. De plus ffest dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
Ici on reconnait la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2x+3u\left(x\right)=2x+3 et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
Ainsi u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=2×ln⁡(x)+(2x+3)×1xf'\left(x\right)=2\times \ln \left(x\right)+\left(2x+3\right)\times \frac{1}{x}
f′(x)=2ln⁡(x)+2x×1x+3×1xf'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+2x\times \frac{1}{x} +3\times \frac{1}{x}
f′(x)=2ln⁡(x)+2xx+3xf'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{2x}{x} +\frac{3}{x}
f′(x)=2ln⁡(x)+2+3xf'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+2+\frac{3}{x}
Question 5

f(x)=ln⁡(x)xf\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x}

Correction
La fonction ffest définie si et seulement si x>0x>0. De plus ffest dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=ln⁡(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et v(x)=xv\left(x\right)=x.
Ainsi : u′(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x} et v′(x)=1v'\left(x\right)=1.
Il vient alors que :
f′(x)=1x×x−ln⁡(x)x2f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times x-\ln \left(x\right)}{x^{2} } équivaut successivement à :
f′(x)=1−ln⁡(x)x2f'\left(x\right)=\frac{1-\ln \left(x\right)}{x^{2} }

Question 6

f(x)=(2x2+3)ln⁡(x)f\left(x\right)=\left(2x^{2} +3\right)\ln \left(x\right)

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0. De plus ffest dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2x2+3u\left(x\right)=2x^{2} +3 et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
Ainsi : u′(x)=4xu'\left(x\right)=4x et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=4x×ln⁡(x)+(2x2+3)×1xf'\left(x\right)=4x\times \ln \left(x\right)+\left(2x^{2} +3\right)\times \frac{1}{x} équivaut successivement à :
f′(x)=4xln⁡(x)+2x2×1x+3×1xf'\left(x\right)=4x\ln \left(x\right)+2x^{2} \times \frac{1}{x} +3\times \frac{1}{x}
f′(x)=4xln⁡(x)+2x2x+3xf'\left(x\right)=4x\ln \left(x\right)+\frac{2x^{2} }{x} +\frac{3}{x}
f′(x)=4xln⁡(x)+2x+3xf'\left(x\right)=4x\ln \left(x\right)+2x+\frac{3}{x}

Question 7

f(x)=9ln⁡(x)+4x−5f\left(x\right)=9\ln \left(x\right)+\frac{4}{x} -5

Correction
La fonction ffest définie si et seulement si x>0x>0. De plus ffest dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
f′(x)=9x−4x2.f'\left(x\right)=\frac{9}{x} -\frac{4}{x^{2} } .
On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe.
Ainsi :
f′(x)=9x−4x2f'\left(x\right)=\frac{9x-4}{x^{2} }

Question 8

f(x)=ln⁡(x)(ln⁡(x)−1)f\left(x\right)=\ln \left(x\right)\left(\ln \left(x\right)-1\right)

Correction
La fonction ffest définie si et seulement si x>0x>0. De plus ffest dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=ln⁡(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et v(x)=ln⁡(x)−1v\left(x\right)=\ln \left(x\right)-1.
Ainsi u′(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x} et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=1x×(ln⁡(x)−1)+ln⁡(x)×1xf'\left(x\right)=\frac{1}{x} \times \left(\ln \left(x\right)-1\right)+\ln \left(x\right)\times \frac{1}{x} équivaut successivement à :
f′(x)=ln⁡(x)−1x+ln⁡(x)xf'\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)-1}{x} +\frac{\ln \left(x\right)}{x}
f′(x)=ln⁡(x)−1+ln⁡(x)xf'\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)-1+\ln \left(x\right)}{x}
Ainsi :
f′(x)=2ln⁡(x)−1xf'\left(x\right)=\frac{2\ln \left(x\right)-1}{x}

Question 9

f(x)=ln⁡(x)x−ln⁡(x)f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x-\ln \left(x\right)} . On suppose que ff est dérivable sur un intervalle II que l'on ne cherchera pas à démontrer.

Correction
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=ln⁡(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et v(x)=x−ln⁡(x)v\left(x\right)=x-\ln \left(x\right).
Ainsi : u′(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x} et v′(x)=1−1xv'\left(x\right)=1-\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=1x×(x−ln⁡(x))−ln⁡(x)×(1−1x)(x−ln⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times \left(x-\ln \left(x\right)\right)-\ln \left(x\right)\times \left(1-\frac{1}{x} \right)}{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }
f′(x)=1x×x+1x×(−ln⁡(x))−ln⁡(x)−ln⁡(x)×(−1x)(x−ln⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times x+\frac{1}{x} \times \left(-\ln \left(x\right)\right)-\ln \left(x\right)-\ln \left(x\right)\times \left(-\frac{1}{x} \right)}{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }
f′(x)=xx−1x×ln⁡(x)−ln⁡(x)+ln⁡(x)×1x(x−ln⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{\frac{x}{x} -\frac{1}{x} \times \ln \left(x\right)-\ln \left(x\right)+\ln \left(x\right)\times \frac{1}{x} }{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }
f′(x)=1−1x×ln⁡(x)−ln⁡(x)+ln⁡(x)×1x(x−ln⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{1-\frac{1}{x} \times \ln \left(x\right)-\ln \left(x\right)+\ln \left(x\right)\times \frac{1}{x} }{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }

Ainsi :
f′(x)=1−ln⁡(x)(x−ln⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{1-\ln \left(x\right)}{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }

Question 10

f(x)=5(ln⁡(x))2f\left(x\right)=5\left(\ln \left(x\right)\right)^{2}

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0.
De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.

(un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=ln⁡(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et n=2n=2. Ainsi u′(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x}.
Il en résulte que :
f′(x)=5×2×1x×(ln⁡(x))f'\left(x\right)=5\times 2\times \frac{1}{x} \times \left(\ln \left(x\right)\right)
Finalement :
f′(x)=10ln⁡(x)xf'\left(x\right)=\frac{10\ln \left(x\right)}{x}

Question 11

f(x)=2e−3xln⁡(x)f\left(x\right)=2e^{-3x} \ln \left(x\right)

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0.
De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2e−3xu\left(x\right)=2e^{-3x} et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • Ainsi u′(x)=2×(−3)e−3xu'\left(x\right)=2\times \left(-3\right)e^{-3x} et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=2×(−3)e−3xln⁡(x)+2e−3x×1xf'\left(x\right)=2\times \left(-3\right)e^{-3x} \ln \left(x\right)+2e^{-3x} \times \frac{1}{x}
    Finalement :
    f′(x)=−6e−3xln⁡(x)+2e−3xxf'\left(x\right)=-6e^{-3x} \ln \left(x\right)+\frac{2e^{-3x} }{x}

    Question 12

    f(x)=cos⁡(x)ln⁡(x)f\left(x\right)=\cos \left(x\right)\ln \left(x\right)

    Correction
    La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0.
    De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
    Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=cos⁡(x)u\left(x\right)=\cos \left(x\right) et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
    Ainsi u′(x)=−sin⁡(x)u'\left(x\right)=-\sin \left(x\right) et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=−sin⁡(x)ln⁡(x)+cos⁡(x)×1xf'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)\ln \left(x\right)+\cos \left(x\right)\times \frac{1}{x}
    f′(x)=−sin⁡(x)ln⁡(x)+cos⁡(x)xf'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)\ln \left(x\right)+\frac{\cos \left(x\right)}{x}

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