La fonction logarithme

Dérivées de composées ln(u) - Exercice 2

15 min
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Question 1
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes. On supposera que chacune des fonctions est dérivable sur un intervalle II que l'on ne cherchera pas à déterminer.

f(x)=7ln⁡(3−2x)f\left(x\right)=7\ln \left(3-2x\right)

Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On a : u(x)=3−2xu\left(x\right)=3-2x et u′(x)=−2u'\left(x\right)=-2
    Ainsi :
    f′(x)=7×−23−2x⇔f'\left(x\right)=7\times \frac{-2}{3-2x} \Leftrightarrow
    f′(x)=−143−2xf'\left(x\right)=\frac{-14}{3-2x}
    Question 2

    f(x)=5ln⁡(4x−6)f\left(x\right)=5\ln \left(4x-6\right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On a : u(x)=4x−6u\left(x\right)=4x-6 et u′(x)=4u'\left(x\right)=4
    Ainsi :
    f′(x)=5×44x−6⇔f'\left(x\right)=5\times \frac{4}{4x-6} \Leftrightarrow
    f′(x)=204x−6f'\left(x\right)=\frac{20}{4x-6}
    Question 3

    f(x)=ln⁡(x3−5x2+4x+1)f\left(x\right)=\ln \left(x^{3}-5x^{2}+4x+1\right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On a : u(x)=x3−5x2+4x+1u\left(x\right)=x^{3}-5x^{2}+4x+1 et u′(x)=3x2−10x+4u'\left(x\right)=3x^{2}-10x+4
    Ainsi :
    f′(x)=3x2−10x+4x3−5x2+4x+1f'\left(x\right)=\frac{3x^{2}-10x+4}{x^{3}-5x^{2}+4x+1}
    Question 4

    f(x)=xln⁡(x2)f\left(x\right)=x\ln \left(x^{2} \right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=ln⁡(x2)v\left(x\right)=\ln \left(x^{2} \right).
    Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=2xx2v'\left(x\right)=\frac{2x}{x^{2} } .
    f′(x)=1×ln⁡(x2)+x×2xx2f'\left(x\right)=1\times \ln \left(x^{2} \right)+x\times \frac{2x}{x^{2} }
    f′(x)=ln⁡(x2)+x×2xf'\left(x\right)=\ln \left(x^{2} \right)+x\times \frac{2}{x}
    f′(x)=ln⁡(x2)+2f'\left(x\right)=\ln \left(x^{2} \right)+2

    Question 5

    f(x)=xln⁡(2x−5)f\left(x\right)=x\ln \left(2x-5\right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=ln⁡(2x−5)v\left(x\right)=\ln \left(2x-5\right).
    Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=22x−5v'\left(x\right)=\frac{2}{2x-5} .
    f′(x)=1×ln⁡(2x−5)+x×22x−5f'\left(x\right)=1\times \ln \left(2x-5\right)+x\times \frac{2}{2x-5}
    f′(x)=ln⁡(2x−5)+2x2x−5f'\left(x\right)=\ln \left(2x-5\right)+\frac{2x}{2x-5}

    Question 6

    f(x)=ln⁡(sin⁡(x))f\left(x\right)=\ln \left(\sin \left(x\right)\right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On a : u(x)=sin⁡(x)u\left(x\right)=\sin \left(x\right) et u′(x)=cos⁡(x)u'\left(x\right)=\cos \left(x\right)
    Ainsi :
    f′(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)f'\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}

    Question 7

    f(x)=−2x2ln⁡(1+3x)f\left(x\right)=-2x^{2} \ln \left(1+3x\right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=−2x2u\left(x\right)=-2x^{2} et v(x)=ln⁡(1+3x)v\left(x\right)=\ln \left(1+3x\right).
    Ainsi : u′(x)=−4xu'\left(x\right)=-4x et v′(x)=31+3xv'\left(x\right)=\frac{3}{1+3x } .
    Il vient alors que :
    f′(x)=−4xln⁡(1+3x)−2x2×33x+1f'\left(x\right)=-4x\ln \left(1+3x\right)-2x^{2} \times \frac{3}{3x+1}
    Ainsi :
    f′(x)=−4xln⁡(1+3x)−6x23x+1f'\left(x\right)=-4x\ln \left(1+3x\right)-\frac{6x^{2} }{3x+1}