Savoir résoudre des inéquations avec les exponentielles - Exercice 2

$$e^{x}-9 \ge 0$$ équivaut successivement à :
$$e^{x} \ge 9$$
$$e^{x}\ge e^{\ln \left(9\right)}$$
$$x\ge \ln 9$$
Donc :

$$3-e^{-x} \le 0$$ équivaut successivement à :
$$-e^{-x} \le -3$$
$$e^{-x} \ge 3$$
$$e^{-x}\ge e^{\ln \left(3\right)}$$
$$-x\ge \ln 3$$
$$x\le-\ln 3$$
$$x\le \ln \left(\frac{1}{3} \right)$$
Donc :

On rappelle que pour tout réel $$x$$, on a : $$e^{x}>0$$ donc $$e^{x}+2>0$$. Il en résulte que l'inéquation $$e^{x}+2 \le 0$$ n'a aucun sens.
Il n'y a donc pas de solutions à cette inéquation.

$$2-e^{2-3x} \ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-e^{2-3x} \ge -2$$
$$e^{2-3x} \le 2$$
$$e^{2-3x}\le e^{\ln \left(2\right)}$$
$$2-3x\le \ln \left(2\right)$$
$$-3x\le \ln \left(2\right)-2$$
$$3x\ge -\ln \left(2\right)+2$$
$$x\ge \frac{-\ln \left(2\right)+2}{3}$$
Donc :

$$\left(e^{x} -4\right)\left(e^{x} +2\right)\le 0$$ . Pour résoudre cette inéquation, nous allons dresser un tableau de signe.
Pour tout réel $$x$$, on sait que $$2>0$$ et $$e^{x}>0$$ ou encore $$e^{x}+2>0$$.
De plus :
$$e^{x}-4\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$e^{x}\ge 4$$
$$e^{x}\ge e^{\ln \left(4\right)}$$
$$x\ge \ln 4$$ . Cela signifie que $$e^{x}-4$$ est positive ou nulle dès que $$x\ge \ln 4$$.
Nous traduisons cela dans un tableau de signe :
Donc :